- 3. (2p) Gasitl extremele locale pentru functin $$ f:(0, \infty) \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}_{\text {, defnith }} $$ prin $$ f(x, y)=4 x y+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+5 $$ Evaluati, dircet gis cu formula lui Green, integrala

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a găsi extremele locale ale funcției $$ f(x, y) = 4xy + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + 5 $$ definită pe domeniul $$ (0, \infty) \times (0, \infty) $$, urmăm pașii de mai jos:

### 1. Calculul derivatelor parțiale

Calculăm derivatele parțiale ale funcției $$ f $$ în raport cu $$ x $$ și $$ y $$:

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 4y - \frac{1}{x^2}
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 4x - \frac{2}{y^2}
$$

### 2. Determinarea punctelor critice

Setăm derivatele parțiale egale cu zero pentru a găsi punctele critice:

$$
4y - \frac{1}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{4x^2}
$$
$$
4x - \frac{2}{y^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \frac{2}{4x} = \frac{1}{2x}
$$

Substituim $$ y = \frac{1}{4x^2} $$ în a doua ecuație:

$$
\left( \frac{1}{4x^2} \right)^2 = \frac{1}{2x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{16x^4} = \frac{1}{2x} \quad \Rightarrow \quad 16x^4 = 2x \quad \Rightarrow \quad 16x^3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x^3 = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}
$$

Apoi, calculăm $$ y $$:

$$
y = \frac{1}{4 \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1
$$

Deci, punctul critic este $$ \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $$.

### 3. Verificarea naturii extremei folosind matricea Hessiană

Calculăm derivatele de ordinul al doilea:

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{2}{x^3}
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{4}{y^3}
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4
$$

Matricea Hessiană este:

$$
H = \begin{pmatrix}
\frac{2}{x^3} & 4 \
4 & \frac{4}{y^3}
\end{pmatrix}
$$

Calculăm determinantul Hessianului la punctul critic $$ \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $$:

$$
\det(H) = \left( \frac{2}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} \right) \left( \frac{4}{1^3} \right) - (4)^2 = (16) \cdot 4 - 16 = 64 - 16 = 48 > 0
$$

De asemenea, $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 16 > 0 $$, ceea ce indică faptul că punctul critic este un minim local.

### **Concluzie**

Funcția $$ f(x, y) = 4xy + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + 5 $$ are un **minim local** în punctul $$ \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $$.
Funcția $$ f(x, y) = 4xy + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + 5 $$ are un minim local în punctul $$ \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $$.

(2p) Gasitl extremele locale pentru functin prin

Evaluati, dircet gis cu formula lui Green, integrala

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions

(2p) Gasitl extremele locale pentru functin prin Evaluati, dircet gis cu formula lui Green, integrala