Limites de la fonction logarithme \( \begin{array}{l}\text { Limites de } \ln \nabla \\ \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty \text { et } \\ \lim _{x \rightarrow 0} \ln x=-\infty \\ \text { Tableau de variations et courbe représentative }\end{array} \)

Pour analyser les limites de la fonction logarithme, nous allons examiner les deux limites données et ensuite discuter du tableau de variations et de la courbe représentative de la fonction \( f(x) = \ln(x) \). ### Limites de la fonction logarithme 1. **Limite lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)**: \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty \] Cela signifie que lorsque \( x \) augmente indéfiniment, la valeur de \( \ln(x) \) augmente également sans borne. 2. **Limite lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)**: \[ \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty \] Cela indique que lorsque \( x \) approche de \( 0 \) par des valeurs positives, la valeur de \( \ln(x) \) décroît vers \( -\infty \). ### Tableau de variations Pour établir le tableau de variations de la fonction \( f(x) = \ln(x) \), nous devons d'abord déterminer son domaine de définition et son comportement. - **Domaine de définition**: La fonction \( \ln(x) \) est définie pour \( x > 0 \). - **Dérivée de la fonction**: \[ f'(x) = \frac{1}{x} \] La dérivée est positive pour \( x > 0 \), ce qui signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle. ### Tableau de variations Voici le tableau de variations de \( f(x) = \ln(x) \): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0^+ & \text{croissance} & +\infty \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \\ \hline \end{array} \] ### Courbe représentative La courbe de la fonction \( f(x) = \ln(x) \) commence à \( -\infty \) lorsque \( x \) approche \( 0 \) par la droite, et elle monte de manière continue et sans limite vers \( +\infty \) lorsque \( x \) augmente. La courbe passe par le point \( (1, 0) \) car \( \ln(1) = 0 \). ### Conclusion En résumé, la fonction logarithme \( \ln(x) \) a des limites bien définies, est croissante sur son domaine de définition, et sa courbe représentative montre un comportement asymptotique vers \( -\infty \) à gauche et \( +\infty \) à droite.