Limites de la fonction logarithme $$ \begin{array}{l} ext { Limites de } \ln
abla \ \lim _{x ightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty ext { et } \ \lim _{x ightarrow 0} \ln x=-\infty \ ext { Tableau de variations et courbe représentative }\end{array} $$

Question

Limites de la fonction logarithme $$ \begin{array}{l}	ext { Limites de } \ln 
abla \ \lim _{x ightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty 	ext { et } \ \lim _{x ightarrow 0} \ln x=-\infty \ 	ext { Tableau de variations et courbe représentative }\end{array} $$

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Pour analyser les limites de la fonction logarithme, nous allons examiner les deux limites données et ensuite discuter du tableau de variations et de la courbe représentative de la fonction $$ f(x) = \ln(x) $$.

### Limites de la fonction logarithme

1. **Limite lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$**:
   $$
   \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty
   $$
   Cela signifie que lorsque $$ x $$ augmente indéfiniment, la valeur de $$ \ln(x) $$ augmente également sans borne.

2. **Limite lorsque $$ x $$ tend vers $$ 0 $$**:
   $$
   \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty
   $$
   Cela indique que lorsque $$ x $$ approche de $$ 0 $$ par des valeurs positives, la valeur de $$ \ln(x) $$ décroît vers $$ -\infty $$.

### Tableau de variations

Pour établir le tableau de variations de la fonction $$ f(x) = \ln(x) $$, nous devons d'abord déterminer son domaine de définition et son comportement.

- **Domaine de définition**: La fonction $$ \ln(x) $$ est définie pour $$ x > 0 $$.
- **Dérivée de la fonction**:
   $$
   f'(x) = \frac{1}{x}
   $$
   La dérivée est positive pour $$ x > 0 $$, ce qui signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle.

### Tableau de variations

Voici le tableau de variations de $$ f(x) = \ln(x) $$:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 0^+ & \text{croissance} & +\infty \
\hline
f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \
\hline
\end{array}
$$

### Courbe représentative

La courbe de la fonction $$ f(x) = \ln(x) $$ commence à $$ -\infty $$ lorsque $$ x $$ approche $$ 0 $$ par la droite, et elle monte de manière continue et sans limite vers $$ +\infty $$ lorsque $$ x $$ augmente. La courbe passe par le point $$ (1, 0) $$ car $$ \ln(1) = 0 $$.

### Conclusion

En résumé, la fonction logarithme $$ \ln(x) $$ a des limites bien définies, est croissante sur son domaine de définition, et sa courbe représentative montre un comportement asymptotique vers $$ -\infty $$ à gauche et $$ +\infty $$ à droite.
La fonction logarithme $$ \ln(x) $$ tend vers $$ +\infty $$ quand $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$ et vers $$ -\infty $$ quand $$ x $$ tend vers $$ 0 $$ (depuis la droite). La fonction est croissante pour tous $$ x > 0 $$, et sa courbe commence à $$ -\infty $$ près de $$ 0 $$ et monte vers $$ +\infty $$ en s'éloignant de $$ 0 $$.

Limites de la fonction logarithme
$é$

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Limites de la fonction logarithme é