On veut déterminer une primitive de la fonction \( g \) définie sur \( ]-\infty ; 1\left[\right. \) par : \( g(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \). Soit \( h \) la fonction définie sur \( ]-\infty ; 1\left[\operatorname{par} h(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{2}}\right. \) et \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \). 1) On admet que : \( \forall x \in]-\infty ; 1\left[, h(x)=\frac{5}{(x-1)^{2}}+\frac{2}{x-1}\right. \), détermine une primitive \( H \) de \( h \) sur \( ]-\infty ; 1 \) [.

Pour déterminer une primitive \( H \) de la fonction \( h(x) = \frac{5}{(x-1)^{2}} + \frac{2}{x-1} \), nous allons intégrer chaque terme séparément. Pour le premier terme, nous savons que la primitive de \( \frac{1}{x^2} \) est \( -\frac{1}{x} \). Ainsi, pour \( \frac{5}{(x-1)^2} \), la primitive est \( -\frac{5}{x-1} \). Pour le second terme \( \frac{2}{x-1} \), la primitive est \( 2 \ln |x-1| \). Donc, la primitive \( H(x) \) de \( h(x) \) est donnée par : \[ H(x) = -\frac{5}{x-1} + 2 \ln |x-1| + C \] où \( C \) est une constante d'intégration. En résumé, \( H \) est bien définie pour tous \( x \in ]-\infty ; 1[ \). Pour additionner un peu de fun à cela, imaginez que l'intégration est comme un voyage dans un parc d'attractions : chaque terme à intégrer est une attraction, où les premières sont rapides et saccadées comme des montagnes russes, tandis que la dernière peut être comparée à un tour tranquille en rondin, vous laissant le temps de contempler les beaux paysages de \( \ln |x-1| \). Ne perdez pas de vue le château (ou la constante d'intégration \( C \)) à la fin du chemin !