5 Gegeven is de lijn $$ l:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array} ight)=\lambda\left(\begin{array}{l}2 \ 1 \ 0\end{array} ight) $$ en het vlak $$ V:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array} ight)=e\left(\begin{array}{l}2 \ 0 \ 1\end{array} ight)+ au\left(\begin{array}{c}1 \ -1 \ 2\end{array} ight) $$ $$ l^{\prime} $$ is de projectie van $$ l $$ op $$ V $$. a. Geef een vectorvoorstelling van het vak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ l^{\prime} $$. b. Geef een vectorvoorstelling van $$ l^{\prime} $$.

Question

5 Gegeven is de lijn $$ l:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}ight)=\lambda\left(\begin{array}{l}2 \ 1 \ 0\end{array}ight) $$ en het vlak $$ V:\left(\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}ight)=e\left(\begin{array}{l}2 \ 0 \ 1\end{array}ight)+	au\left(\begin{array}{c}1 \ -1 \ 2\end{array}ight) $$ $$ l^{\prime} $$ is de projectie van $$ l $$ op $$ V $$. a. Geef een vectorvoorstelling van het vak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ l^{\prime} $$. b. Geef een vectorvoorstelling van $$ l^{\prime} $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Laten we de gegeven informatie stap voor stap analyseren en de gevraagde vectorvoorstellingen vinden.

### Gegeven:
1. De lijn $$ l $$:
   $$
   \begin{pmatrix}
   x \
   y \
   z
   \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}
   2 \
   1 \
   0
   \end{pmatrix}
   $$
   Hieruit kunnen we afleiden dat de richting van de lijn $$ \mathbf{d_l} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} $$ is.

2. Het vlak $$ V $$:
   $$
   \begin{pmatrix}
   x \
   y \
   z
   \end{pmatrix} = e \begin{pmatrix}
   2 \
   0 \
   1
   \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix}
   1 \
   -1 \
   2
   \end{pmatrix}
   $$
   Hieruit kunnen we afleiden dat een punt op het vlak wordt gegeven door de vector $$ \begin{pmatrix} 2e \ -\tau \ e + 2\tau \end{pmatrix} $$.

### a. Vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ l' $$

De lijn $$ l' $$ is de projectie van $$ l $$ op het vlak $$ V $$. Om de vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$ te vinden, moeten we de lijn $$ l $$ en de projectie $$ l' $$ combineren.

1. **Bepaal een punt op de lijn $$ l $$**:
   Een punt op de lijn $$ l $$ kan worden gegeven door $$ \lambda = 1 $$:
   $$
   \mathbf{P_l} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}
   $$

2. **Bepaal een normaalvector van het vlak $$ V $$**:
   De normaalvector $$ \mathbf{n} $$ van het vlak kan worden gevonden door de kruisproduct van de richtingsvectoren van het vlak:
   $$
   \mathbf{d_1} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{d_2} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}
   $$
   We berekenen het kruisproduct $$ \mathbf{n} = \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} $$.

3. **Bepaal de vectorvoorstelling van het vlak $$ W $$**:
   Het vlak $$ W $$ kan worden beschreven door een punt op de lijn $$ l $$ en de normaalvector $$ \mathbf{n} $$.

Laten we nu de normaalvector $$ \mathbf{n} $$ berekenen.

### Berekening van de normaalvector $$ \mathbf{n} $$

$$
\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}
$$

Laten we deze berekening uitvoeren.

$$
\mathbf{n} = \begin{pmatrix}
(0 \cdot 2 - 1 \cdot -1) \
(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \
(2 \cdot -1 - 0 \cdot 1)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \
1 - 4 \
-2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \
-3 \
-2
\end{pmatrix}
$$

### b. Vectorvoorstelling van $$ l' $$

Om de projectie $$ l' $$ te vinden, moeten we de lijn $$ l $$ projecteren op het vlak $$ V $$. Dit kan worden gedaan door de lijn $$ l $$ te parametriseren en de projectie te berekenen.

1. **Bepaal de projectie**:
   De projectie van een punt $$ \mathbf{P_l} $$ op het vlak kan worden gegeven door de formule:
   $$
   \mathbf{P_{l'}} = \mathbf{P_l} - \frac{(\mathbf{P_l} - \mathbf{P_v}) \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n}
   $$
   waarbij $$ \mathbf{P_v} $$ een punt op het vlak is.

Laten we nu de projectie $$ l' $$ berekenen. We kiezen $$ e = 0 $$ en $$ \tau = 0 $$ voor een punt op het vlak $$ V $$:
$$
\mathbf{P_v} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}
$$

Nu kunnen we de projectie berekenen.

### Berekening van de projectie $$ l' $$

$$
\mathbf{P_{l'}} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} - \frac{(\begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix}
$$

Laten we deze berekening uitvoeren.

1. **Bereken het dot product**:
   $$
   \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot -3 + 0 \cdot -2 = 2 - 3 + 0 = -1
   $$

2. **Bereken het dot product van de normaalvector**:
   $$
   \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix} = 1^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = 1 + 9 + 4 = 14
   $$

3. **Bereken de projectie
a. Het vlak $$ W $$ door $$ l $$ en $$ l' $$ wordt gegeven door de vectorvoorstelling: $$ \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix} $$ b. De projectie $$ l' $$ van $$ l $$ op $$ V $$ wordt gegeven door de vectorvoorstelling: $$ \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ -2 \end{pmatrix} $$

5 Gegeven is de lijn en het vlak
is de projectie van op .
a. Geef een vectorvoorstelling van het vak door en .
b. Geef een vectorvoorstelling van .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Gegeven:

a. Vectorvoorstelling van het vlak door en

Berekening van de normaalvector

b. Vectorvoorstelling van

Berekening van de projectie

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions

5 Gegeven is de lijn en het vlak is de projectie van op . a. Geef een vectorvoorstelling van het vak door en . b. Geef een vectorvoorstelling van .