En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7,9 y 13 se obtuvo la
siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7 , 15 Sólo ven el canal 7 y el
canal 9,33 Ven el canal 7 y el canal 13,3 Sólo ven el canal 13,25 Ven los tres
canales, 46 Ven el canal 9,6 No ven T.V, 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9 . Averigua:
a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad de personas que ven sólo el
Canal 9 .

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sean las regiones del diagrama de Venn definidas de la siguiente manera:

- $$ x $$: solo ven el canal 7.
- $$ y $$: solo ven el canal 9.
- $$ z $$: solo ven el canal 13.
- $$ a $$: ven exactamente los canales 7 y 9.
- $$ b $$: ven exactamente los canales 7 y 13.
- $$ c $$: ven exactamente los canales 9 y 13.
- $$ d $$: ven los tres canales.

A partir de la información se tiene:

1. De “55 encuestados ven el canal 7” se deduce que:
   $$
   x + a + b + d = 55.
   $$
2. “15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9” indica que:
   $$
   a = 15.
   $$
3. “33 Ven el canal 7 y el canal 13” se interpreta como los que ven canal 7 y 13 (incluyendo a los que ven los tres) y, por tanto,
   $$
   b + d = 33.
   $$
4. “3 Sólo ven el canal 13” implica:
   $$
   z = 3.
   $$
5. “25 Ven los tres canales” da:
   $$
   d = 25.
   $$
6. “46 Ven el canal 9” significa:
   $$
   y + a + c + d = 46.
   $$
7. “2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9” indica que:
   $$
   c = 2.
   $$
8. “6 No ven T.V.” se tomará al final para contar el total de encuestados.

Procedemos a determinar cada región:

- De la ecuación (3):
  $$
  b + 25 = 33 \quad \Longrightarrow \quad b = 33 - 25 = 8.
  $$

- De la ecuación (1):
  $$
  x + 15 + 8 + 25 = 55 \quad \Longrightarrow \quad x + 48 = 55 \quad \Longrightarrow \quad x = 55 - 48 = 7.
  $$

- De la ecuación (6):
  $$
  y + 15 + 2 + 25 = 46 \quad \Longrightarrow \quad y + 42 = 46 \quad \Longrightarrow \quad y = 46 - 42 = 4.
  $$

Ahora, el número de personas que ven **al menos un canal** es la suma de las regiones:
$$
\text{Total que ven TV} = x + y + z + a + b + c + d = 7 + 4 + 3 + 15 + 8 + 2 + 25 = 64.
$$

Finalmente, considerando que “6 No ven T.V.”, el total de encuestados es:
$$
\text{Total encuestados} = 64 + 6 = 70.
$$

Por lo tanto:

a) La cantidad de personas encuestadas es $$ 70 $$.

b) La cantidad de personas que ven solo el Canal 9 es $$ y = 4 $$.
a) Total de personas encuestadas: 70 b) Personas que ven solo el Canal 9: 4

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