jer. 1-8: Encuentre el cociente y residuo si $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$ se divide ntre $$ \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}) $$. $$ 1 f(x)=2 x^{4}-x^{3}-3 x^{2}+7 x-12 ; \quad p(x)=x^{2}-3 $$

Question

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Para dividir el polinomio $$ f(x) = 2x^{4} - x^{3} - 3x^{2} + 7x - 12 $$ entre $$ p(x) = x^{2} - 3 $$, seguimos los siguientes pasos de la división polinómica:

1. **Primer Paso:**
   - **Dividendo:** $$ 2x^{4} - x^{3} - 3x^{2} + 7x - 12 $$
   - **Divisor:** $$ x^{2} - 3 $$
   - **Cociente parcial:** $$ 2x^{2} $$ (porque $$ 2x^{4} \div x^{2} = 2x^{2} $$)
   - **Multiplicación:** $$ 2x^{2} \cdot (x^{2} - 3) = 2x^{4} - 6x^{2} $$
   - **Resta:** $$ (2x^{4} - x^{3} - 3x^{2} + 7x - 12) - (2x^{4} - 6x^{2}) = -x^{3} + 3x^{2} + 7x - 12 $$

2. **Segundo Paso:**
   - **Nuevo dividendo:** $$ -x^{3} + 3x^{2} + 7x - 12 $$
   - **Cociente parcial:** $$ -x $$ (porque $$ -x^{3} \div x^{2} = -x $$)
   - **Multiplicación:** $$ -x \cdot (x^{2} - 3) = -x^{3} + 3x $$
   - **Resta:** $$ (-x^{3} + 3x^{2} + 7x - 12) - (-x^{3} + 3x) = 3x^{2} + 4x - 12 $$

3. **Tercer Paso:**
   - **Nuevo dividendo:** $$ 3x^{2} + 4x - 12 $$
   - **Cociente parcial:** $$ 3 $$ (porque $$ 3x^{2} \div x^{2} = 3 $$)
   - **Multiplicación:** $$ 3 \cdot (x^{2} - 3) = 3x^{2} - 9 $$
   - **Resta:** $$ (3x^{2} + 4x - 12) - (3x^{2} - 9) = 4x - 3 $$

El proceso finaliza aquí porque el residuo $$ 4x - 3 $$ tiene un grado menor que el divisor $$ x^{2} - 3 $$.

**Resultado Final:**
- **Cociente:** $$ 2x^{2} - x + 3 $$
- **Residuo:** $$ 4x - 3 $$

Por lo tanto,

$$ f(x) = (2x^{2} - x + 3)(x^{2} - 3) + (4x - 3) $$
El cociente es $$ 2x^{2} - x + 3 $$ y el residuo es $$ 4x - 3 $$.

jer. 1-8: Encuentre el cociente y residuo si \( \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \) se divide ntre \( \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}) \). \( 1 f(x)=2 x^{4}-x^{3}-3 x^{2}+7 x-12 ; \quad p(x)=x^{2}-3 \)

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