Determine el volumen resultante de rotar la función $$ f(x) = \frac{1}{x} $$, desde $$ x = 1 $$ hasta $$ x = 2 $$, alrededor del eje y usando el método de lavadoras.

Question

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Para determinar el volumen resultante de rotar la función $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ desde $$ x = 1 $$ hasta $$ x = 2 $$ alrededor del eje $$ y $$ usando el método de lavadoras, seguimos estos pasos:

1. **Identificar la función y los límites de integración**: 
   - La función es $$ f(x) = \frac{1}{x} $$.
   - Los límites de integración son $$ x = 1 $$ y $$ x = 2 $$.

2. **Encontrar la expresión para el volumen**:
   - Cuando rotamos alrededor del eje $$ y $$, necesitamos expresar $$ x $$ en términos de $$ y $$. De la función $$ f(x) = \frac{1}{x} $$, podemos despejar $$ x $$:
     $$
     x = \frac{1}{y}
     $$
   - Los límites de $$ y $$ se obtienen evaluando $$ f(x) $$ en los límites de $$ x $$:
     - Para $$ x = 1 $$: $$ y = f(1) = 1 $$
     - Para $$ x = 2 $$: $$ y = f(2) = \frac{1}{2} $$

3. **Configurar la integral para el volumen**:
   - El volumen $$ V $$ se calcula usando la fórmula del método de lavadoras:
     $$
     V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dy
     $$
   - En este caso, $$ R $$ es la función externa y $$ r $$ es la función interna. Dado que estamos rotando alrededor del eje $$ y $$, $$ R $$ es la función que va desde $$ y = \frac{1}{2} $$ hasta $$ y = 1 $$:
     - $$ R(y) = \frac{1}{y} $$ (la función que estamos rotando)
     - No hay función interna, así que $$ r(y) = 0 $$.

4. **Establecer los límites de integración**:
   - Los límites de integración para $$ y $$ son de $$ \frac{1}{2} $$ a $$ 1 $$.

5. **Escribir la integral**:
   $$
   V = \pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left( \left(\frac{1}{y}\right)^2 - 0^2 \right) \, dy
   $$
   $$
   V = \pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{y^2} \, dy
   $$

6. **Calcular la integral**:
   - La integral de $$ \frac{1}{y^2} $$ es $$ -\frac{1}{y} $$:
   $$
   V = \pi \left[ -\frac{1}{y} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}
   $$
   $$
   V = \pi \left( -\frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{1}{2}} \right)
   $$
   $$
   V = \pi \left( -1 + 2 \right) = \pi
   $$

Por lo tanto, el volumen resultante de rotar la función $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ desde $$ x = 1 $$ hasta $$ x = 2 $$ alrededor del eje $$ y $$ es $$ V = \pi $$.
El volumen resultante es $$ \pi $$.

Determine el volumen resultante de rotar la función , desde hasta , alrededor del eje y usando el método de lavadoras.

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