15. L'equació $$ 2 x y^{3}+2 x-4 y=0 $$ defineix implicitament $$ y $$ com a funció de $$ x, y=y(x) $$, al voltant del punt $$ (x, y)=(1,1) $$. Llavors, quin és el valor de la derivada $$ y^{\prime}(1) $$ ? a. $$ 1 / 2 $$ b. 2 c. -2 d. $$ -1 / 2 $$ 16. La funció $$ f(x, y, z, w)=\frac{x^{2} y-4 y w}{x^{2}+2 y z-z w} $$, és homogènia?: a. No és homogènia b. És homogènia de grau 0 c. És homogènia de grau 1 d. És homogènia de grau 2 17. Donada la funció $$ f(x, y)=\frac{x}{y-2} $$, podem assegurar que té màxim i mínim absoluts (o globals) en el conjunt: a. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2} ight. $$ tals que $$ \left.0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 3 ight\} $$ b. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2} ight. $$ tals que $$ \left.x \geq 0, y \leq 1 ight\} $$ c. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2} ight. $$ tals que $$ \left.x^{2}+y^{2}

Question

15. L'equació $$ 2 x y^{3}+2 x-4 y=0 $$ defineix implicitament $$ y $$ com a funció de $$ x, y=y(x) $$, al voltant del punt $$ (x, y)=(1,1) $$. Llavors, quin és el valor de la derivada $$ y^{\prime}(1) $$ ? a. $$ 1 / 2 $$ b. 2 c. -2 d. $$ -1 / 2 $$ 16. La funció $$ f(x, y, z, w)=\frac{x^{2} y-4 y w}{x^{2}+2 y z-z w} $$, és homogènia?: a. No és homogènia b. És homogènia de grau 0 c. És homogènia de grau 1 d. És homogènia de grau 2 17. Donada la funció $$ f(x, y)=\frac{x}{y-2} $$, podem assegurar que té màxim i mínim absoluts (o globals) en el conjunt: a. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2}ight. $$ tals que $$ \left.0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 3ight\} $$ b. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2}ight. $$ tals que $$ \left.x \geq 0, y \leq 1ight\} $$ c. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2}ight. $$ tals que $$ \left.x^{2}+y^{2}<1ight\} $$ d. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2}ight. $$ tals que $$ \left.1 \leq x \leq 5,0 \leq y \leq 1ight\} $$ 18. Una empresa produeix dos articles, amb preus de venda unitaris respectius $$ p_{x}=26, p_{y}=41 $$. Si $$ x $$ i $$ y $$ són les quantitats produides i $$ C(x, y)=2 x y+2 x^{2}+\frac{5}{2} y^{2} $$ la funció de costos totals, determina el valor del benefici màxim de l'empresa. a. $$ B_{	ext {max }}=182,5 $$ b. $$ B_{	ext {max }}=133 $$ c. $$ B_{	ext {max }}=151 $$ d. $$ B_{	ext {max }}=195,5 $$ 19. Donada la funció $$ f(x, y, z)=x+2 y+y z-x^{2}-y^{2}-z^{2} $$, llavors podem afirmar que: a. Té un màxim local b. Té un mínim local c. Té un punt de sella d. No té cap punt crític 20. Donada la funció $$ f(x, y)=5 x^{2}+y^{2}+4 x y+10 x-6 y $$, i a partir de la seva curvatura, podem assegurar: a. La funció te un màxim absolut b. La funció te un mínim absolut c. La funció te màxim i mínim absoluts d. Cap de les anteriors

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Aquí tienes las respuestas a las preguntas planteadas:

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**15.**  
**Respuesta correcta:** **c. -2**

**Explicación:**  
Diferenciando implícitamente la ecuación $$ 2xy^3 + 2x - 4y = 0 $$ respecto a $$ x $$, obtenemos:

$$
2y^3 + 6xy^2 y' + 2 - 4y' = 0
$$

Resolviendo para $$ y' $$:

$$
y' = \frac{-2y^3 - 2}{6xy^2 - 4}
$$

En el punto $$ (1, 1) $$:

$$
y' = \frac{-2(1)^3 - 2}{6(1)(1)^2 - 4} = \frac{-4}{2} = -2
$$

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**16.**  
**Respuesta correcta:** **a. No és homogènia**

**Explicación:**  
Para que una función sea homogénea, tanto el numerador como el denominador deben ser homogéneos del mismo grado. En este caso:

- Numerador: $$ x^2y $$ (grado 3) y $$ -4yw $$ (grado 2), lo que no es consistente.
- Denominador: $$ x^2 $$, $$ 2yz $$ y $$ -zw $$ (todos de grado 2).

Al no coincidir los grados en el numerador, la función no es homogénea.

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**17.**  
**Respuesta correcta:** **d. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2}\right. \; \text{tals que} \; 1 \leq x \leq 5, 0 \leq y \leq 1\right\} $$**

**Explicación:**  
La función $$ f(x, y) = \frac{x}{y-2} $$ es continua en el conjunto dado y el conjunto $$ A $$ es compacto (cerrado y acotado). Además, $$ y-2 $$ nunca es cero en este conjunto, garantizando que la función está bien definida y alcanza máximos y mínimos absolutos en $$ A $$.

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**18.**  
**Respuesta correcta:** **a. $$ B_{\text{max}} = 182,5 $$**

**Explicación:**  
La función de beneficio es:

$$
B(x, y) = 26x + 41y - (2xy + 2x^2 + 2.5y^2)
$$

Encontrando los puntos críticos y evaluando en $$ (3, 7) $$:

$$
B(3, 7) = 78 + 287 - 42 - 18 - 122.5 = 182,5
$$

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**19.**  
**Respuesta correcta:** **c. Té un punt de sella**

**Explicación:**  
Al calcular el Hessiano de la función $$ f(x, y, z) = x + 2y + yz - x^2 - y^2 - z^2 $$, se determina que el punto crítico es un punto de silla debido a la indefinición del Hessiano.

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**20.**  
**Respuesta correcta:** **b. La funció té un mínim absolut**

**Explicación:**  
La función quadrática $$ f(x, y) = 5x^2 + y^2 + 4xy + 10x - 6y $$ tiene una parte cuadrática positiva definida porque el determinante de la matriz asociada es positivo y el primer minor principal también es positivo. Por lo tanto, la función tiene un mínimo global.

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**Respuestas:** 15. **c. -2** 16. **a. No és homogènia** 17. **d. $$ A=\left\{(x, y) \in \mathfrak{R}^{2}\right. \; \text{tals que} \; 1 \leq x \leq 5, 0 \leq y \leq 1\right\} $$** 18. **a. $$ B_{\text{max}} = 182,5 $$** 19. **c. Té un punt de sella** 20. **b. La funció té un mínim absolut**

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