3. Sea $$ f(x, y)=x^{2}+4 y^{2} $$. Llamemos $$ C $$ a la curva de nivel de $$ f(x, y) $$ que pasa por el punto $$ P(2,1) $$. a) Encuentre una ecuación implícita para $$ C $$, grafique la curva y proponga una parametrización de la misma. b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a $$ C $$ por $$ P $$.

Question

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**a) Ecuación implícita, gráfico y parametrización**

1. Como la curva de nivel $$ C $$ es aquella donde $$ f(x, y)=x^{2}+4y^{2} $$ tiene el mismo valor que en el punto $$ P(2,1) $$, calculamos:
   $$
   f(2,1)=2^{2}+4\cdot1^{2}=4+4=8.
   $$
   Por lo tanto, la ecuación implícita para $$ C $$ es:
   $$
   x^{2}+4y^{2}=8.
   $$

2. Esta ecuación representa una elipse. Para ver su forma canónica, escribimos:
   $$
   \frac{x^{2}}{8}+\frac{4y^{2}}{8}= \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1.
   $$
   Esto indica que el eje mayor está a lo largo de la dirección $$ x $$ (semieje $$ a=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $$) y el eje menor en la dirección $$ y $$ (semieje $$ b=\sqrt{2} $$).

3. Una posible parametrización de la elipse es:
   $$
   x=2\sqrt{2}\cos t,\quad y=\sqrt{2}\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
   $$
   Verificamos que al sustituir en la ecuación de la elipse:
   $$
   (2\sqrt{2}\cos t)^{2}+4(\sqrt{2}\sin t)^{2}= 8\cos^{2}t+8\sin^{2}t=8(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=8.
   $$
   Además, al evaluar en $$ t $$ adecuado se obtiene el punto $$ P(2,1) $$. Se puede encontrar $$ t $$ tal que:
   $$
   2\sqrt{2}\cos t=2,\quad \sqrt{2}\sin t=1 \quad\Longrightarrow\quad \cos t=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad \sin t=\frac{1}{\sqrt{2}}.
   $$
   Esto ocurre para $$ t=\frac{\pi}{4} $$, confirmando que $$ P(2,1) $$ pertenece a la parametrización.

**b) Recta tangente a $$ C $$ en $$ P(2,1) $$**

1. Partimos de la función implícita:
   $$
   F(x,y)=x^{2}+4y^{2}-8=0.
   $$
  
2. Calculamos el gradiente de $$ F $$:
   $$
   \nabla F(x,y)=(F_{x}, F_{y})=(2x, 8y).
   $$
   En $$ P(2,1) $$, esto da:
   $$
   \nabla F(2,1)=(2\cdot2,\, 8\cdot1)=(4,8).
   $$

3. La recta tangente a $$ C $$ en $$ P $$ es perpendicular al gradiente, por lo que su ecuación viene dada por:
   $$
   4(x-2)+8(y-1)=0.
   $$
  
4. Simplificamos la ecuación:
   $$
   4(x-2)+8(y-1)= 4x-8+8y-8 =4x+8y-16=0.
   $$
   Dividiendo entre 4:
   $$
   x+2y-4=0.
   $$
  
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a $$ C $$ en $$ P(2,1) $$ es:
$$
x+2y=4.
$$
**a) Ecuación implícita, gráfico y parametrización** - **Ecuación implícita para $$ C $$:** $$ x^{2}+4y^{2}=8 $$ - **Parametrización de la elipse:** $$ x=2\sqrt{2}\cos t,\quad y=\sqrt{2}\sin t,\quad t\in[0,2\pi] $$ **b) Recta tangente a $$ C $$ en $$ P(2,1) $$:** $$ x+2y=4 $$

Sea . Llamemos a la curva de nivel de que pasa por el punto .
a) Encuentre una ecuación implícita para , grafique la curva y proponga una parametrización de la
misma.
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a por .

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Sea . Llamemos a la curva de nivel de que pasa por el punto . a) Encuentre una ecuación implícita para , grafique la curva y proponga una parametrización de la misma. b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a por .