( 25 puntos) Una empresa que se dedica a prestar servicios de consultoría sobre aspectos publici- tarios realizó encuestas acerca de los costos de publicidad y determinó que las funciones de costos al tomar en cuenta los costos de publicidad y de demanda de servicios de consultoría, son: \[ C(x)=1200+25 x-0,0001 x^{2} \] \[ p(x)=55-\frac{x}{1000} \] Donde en la función de costos, \( C(x) \) es el costo de prestar \( \times \) servicios al considerar los costos de publicidad, y en la función de demanda p es el precio de cada servicio que se prestó y \( x \) es el número de servicios prestados. (a) (15 ptos) Utlizando el criterio de la segunda derivada, determine e interprete el número de servicios que maximiza la utilidad.

Para determinar el número de servicios que maximiza la utilidad utilizando el criterio de la segunda derivada, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. **Definir la Función de Utilidad** La utilidad \( U(x) \) se calcula como la diferencia entre los ingresos y los costos: \[ U(x) = \text{Ingresos} - \text{Costos} \] **Ingresos (\( R(x) \)):** \[ R(x) = p(x) \cdot x = \left(55 - \frac{x}{1000}\right) \cdot x = 55x - \frac{x^2}{1000} \] **Costos (\( C(x) \)):** \[ C(x) = 1200 + 25x - 0.0001x^2 \] **Por lo tanto, la función de utilidad es:** \[ U(x) = R(x) - C(x) = \left(55x - \frac{x^2}{1000}\right) - \left(1200 + 25x - 0.0001x^2\right) \] Simplificando: \[ U(x) = 55x - \frac{x^2}{1000} - 1200 - 25x + 0.0001x^2 = 30x - \frac{9}{10000}x^2 - 1200 \] ### 2. **Calcular la Primera Derivada de \( U(x) \)** Para encontrar los puntos críticos, derivamos \( U(x) \) respecto a \( x \): \[ U'(x) = \frac{dU}{dx} = 30 - \frac{18}{10000}x \] ### 3. **Encontrar los Puntos Críticos** Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los valores de \( x \) que podrían maximizar la utilidad: \[ 30 - \frac{18}{10000}x = 0 \\ \frac{18}{10000}x = 30 \\ x = \frac{30 \cdot 10000}{18} = \frac{300000}{18} \approx 16666.67 \] ### 4. **Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada** Calculamos la segunda derivada para determinar la concavidad de la función en el punto crítico: \[ U''(x) = \frac{d^2U}{dx^2} = -\frac{18}{10000} = -0.0018 \] Dado que \( U''(x) < 0 \), la función es cóncava en \( x \approx 16666.67 \), lo que indica un máximo local. ### 5. **Interpretación** El número de servicios que maximiza la utilidad es aproximadamente **16,667 servicios**. Esto significa que la empresa debería prestar este número de servicios para alcanzar el máximo beneficio según los datos y las funciones proporcionadas.