2) Discute en función do parámetro $$ m $$ o sistema de ecuacións: $$ \left\{\begin{array}{c}x+m y+m z=1 \ x+m y+m z=m \ m y+m z=4 m\end{array} ight. $$ 3) Resólveo para os casos que sexa posible.

Question

2) Discute en función do parámetro $$ m $$ o sistema de ecuacións: $$ \left\{\begin{array}{c}x+m y+m z=1 \ x+m y+m z=m \ m y+m z=4 m\end{array}ight. $$ 3) Resólveo para os casos que sexa posible.

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Para analizar el sistema de ecuaciones dado:

$$
\begin{cases}
x + m y + m z = 1 \quad (1) \
x + m y + m z = m \quad (2) \
m y + m z = 4m \quad (3)
\end{cases}
$$

Primero, observamos que las ecuaciones (1) y (2) son iguales en la parte izquierda, por lo que podemos igualar las partes derechas:

$$
1 = m
$$

Esto implica que $$ m = 1 $$. Ahora, sustituimos $$ m = 1 $$ en el sistema:

$$
\begin{cases}
x + y + z = 1 \quad (1') \
x + y + z = 1 \quad (2') \
y + z = 4 \quad (3')
\end{cases}
$$

Las ecuaciones (1') y (2') son idénticas, por lo que solo necesitamos considerar una de ellas. Ahora, tenemos el siguiente sistema reducido:

$$
\begin{cases}
x + y + z = 1 \
y + z = 4
\end{cases}
$$

De la segunda ecuación, podemos despejar $$ y + z $$:

$$
y + z = 4 \implies z = 4 - y
$$

Sustituyendo $$ z $$ en la primera ecuación:

$$
x + y + (4 - y) = 1
$$

Simplificando:

$$
x + 4 = 1 \implies x = 1 - 4 = -3
$$

Ahora sustituimos $$ x = -3 $$ en la ecuación $$ y + z = 4 $$:

$$
y + z = 4
$$

No tenemos suficiente información para determinar $$ y $$ y $$ z $$ de forma única, pero podemos expresar $$ z $$ en función de $$ y $$:

$$
z = 4 - y
$$

Por lo tanto, para $$ m = 1 $$, el sistema tiene infinitas soluciones parametrizadas por $$ y $$:

$$
(x, y, z) = (-3, y, 4 - y) \quad \text{para cualquier } y \in \mathbb{R}.
$$

Ahora, consideremos el caso en que $$ m \neq 1 $$. En este caso, las ecuaciones (1) y (2) no se pueden igualar, lo que significa que el sistema no tiene solución.

Finalmente, resumimos los resultados:

1. Si $$ m = 1 $$, el sistema tiene infinitas soluciones de la forma $$ (x, y, z) = (-3, y, 4 - y) $$ para cualquier $$ y \in \mathbb{R} $$.
2. Si $$ m \neq 1 $$, el sistema no tiene solución.
Si $$ m = 1 $$, el sistema tiene infinitas soluciones parametrizadas por $$ y $$: $$ (x, y, z) = (-3, y, 4 - y) $$. Si $$ m \neq 1 $$, el sistema no tiene solución.

Discute en función do parámetro o sistema de ecuacións:

Resólveo para os casos que sexa posible.

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Discute en función do parámetro o sistema de ecuacións: Resólveo para os casos que sexa posible.