e 3 eéterminer le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction \( f(x)=\ln (1+x)-x \). Rappelons que : \( \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+. .+(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right) \) Réponse : In déduire : \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}} \) Réponse :

Pour déterminer le développement limité de la fonction \( f(x) = \ln(1+x) - x \) à l'ordre 2 en 0, utilisons le développement limité de \( \ln(1+x) \). En substituant dans \( f(x) \), on a : \[ f(x) = \left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - x = -\frac{x^2}{2} + o(x^2). \] Ainsi, le développement limité à l'ordre 2 en 0 est \( f(x) \sim -\frac{x^2}{2} \). Pour la limite, nous avons : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2}\right) = -\frac{1}{2}. \] Donc, la réponse est \(-\frac{1}{2}\).