e) $$ \log _{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Resolveremos la ecuación paso a paso:

1. Partimos de la ecuación:
   
   $$
   \log_{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2
   $$

2. Recordamos que la definición del logaritmo es: si $$\log_{a}(b)=c$$, entonces $$b=a^c$$. Usando esto obtenemos:

$$
   x^{2}-x-2=2^{2}
   $$

3. Calculamos $$2^2$$:

$$
   2^{2}=4
   $$

Entonces la ecuación se transforma en:

$$
   x^{2}-x-2=4
   $$

4. Restamos $$4$$ de ambos lados para obtener una ecuación cuadrática igualada a cero:

$$
   x^{2}-x-2-4=0 \quad \Longrightarrow \quad x^{2}-x-6=0
   $$

5. Para resolver la ecuación cuadrática $$x^{2}-x-6=0$$, buscamos dos números que multiplicados den $$-6$$ y sumados den $$-1$$. Estos números son $$ -3 $$ y $$2$$, ya que:

$$
   (-3)(2)=-6 \quad \text{y} \quad -3+2=-1
   $$

6. Entonces, factorizamos la ecuación:

$$
   (x-3)(x+2)=0
   $$

7. Aplicamos la propiedad del producto nulo:

$$
   x-3=0 \quad \text{ó} \quad x+2=0
   $$

Resolviendo cada una:

- Para $$x-3=0$$:
     
     $$
     x=3
     $$
   
   - Para $$x+2=0$$:
     
     $$
     x=-2
     $$

8. Por último, verificamos que los valores hallados cumplen la condición del dominio del logaritmo, es decir, $$x^{2}-x-2>0$$.

- Para $$x=3$$:
     
     $$
     3^{2}-3-2=9-3-2=4>0
     $$
   
   - Para $$x=-2$$:
     
     $$
     (-2)^{2}-(-2)-2=4+2-2=4>0
     $$

Ambos valores son válidos.

La solución es:

$$
x=3 \quad \text{y} \quad x=-2
$$
La solución es $$ x = 3 $$ y $$ x = -2 $$.

e)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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