17 soit la fonction $$ f $$ définie de $$ \mathbb{R} $$ vers $$ \mathbb{R} $$ par: $$ f(x)=\frac{x^{2}+6 x+5}{x^{2}+5} $$, on admet que $$ f $$ est continue et dérivable sur $$ \mathbb{R} $$. 1. Détermine la fonction dérivé $$ f^{\prime} $$ de $$ f $$.

Question

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Pour déterminer la dérivée $$ f^{\prime}(x) $$ de la fonction $$ f $$ définie par
$$ f(x) = \frac{x^{2} + 6x + 5}{x^{2} + 5}, $$
nous utiliserons la règle du quotient.

**Règle du quotient :**
Si $$ f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} $$, alors
$$ f^{\prime}(x) = \frac{N^{\prime}(x)D(x) - N(x)D^{\prime}(x)}{[D(x)]^{2}}. $$

**Étapes de calcul :**

1. **Identifier le numérateur et le dénominateur :**
   $$
   N(x) = x^{2} + 6x + 5 \quad \text{et} \quad D(x) = x^{2} + 5.
   $$

2. **Calculer les dérivées de $$ N(x) $$ et $$ D(x) $$ :**
   $$
   N^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 6x + 5) = 2x + 6, 
   $$
   $$
   D^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 5) = 2x.
   $$

3. **Appliquer la règle du quotient :**
   $$
   f^{\prime}(x) = \frac{(2x + 6)(x^{2} + 5) - (x^{2} + 6x + 5)(2x)}{(x^{2} + 5)^{2}}.
   $$

4. **Développer le numérateur :**
   $$
   (2x + 6)(x^{2} + 5) = 2x \cdot x^{2} + 2x \cdot 5 + 6 \cdot x^{2} + 6 \cdot 5 = 2x^{3} + 10x + 6x^{2} + 30,
   $$
   $$
   (x^{2} + 6x + 5)(2x) = 2x^{3} + 12x^{2} + 10x.
   $$

5. **Soustraire les deux expressions obtenues :**
   $$
   [2x^{3} + 10x + 6x^{2} + 30] - [2x^{3} + 12x^{2} + 10x] = -6x^{2} + 30.
   $$

6. **Simplifier l'expression de $$ f^{\prime}(x) $$ :**
   $$
   f^{\prime}(x) = \frac{-6x^{2} + 30}{(x^{2} + 5)^{2}} = \frac{-6(x^{2} - 5)}{(x^{2} + 5)^{2}}.
   $$

**Résultat final :**
$$ 
f^{\prime}(x) = \frac{-6(x^{2} - 5)}{(x^{2} + 5)^{2}}.
$$

Cela peut également s'écrire de manière équivalente :
$$ 
f^{\prime}(x) = \frac{6(5 - x^{2})}{(x^{2} + 5)^{2}}.
$$
La dérivée de $$ f(x) $$ est $$ f^{\prime}(x) = \frac{-6(x^{2} - 5)}{(x^{2} + 5)^{2}} $$.

17 soit la fonction définie de vers par:
, on admet que est continue et
dérivable sur .

Détermine la fonction dérivé de .

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17 soit la fonction définie de vers par: , on admet que est continue et dérivable sur . Détermine la fonction dérivé de .