Pregunta
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MT2-2
a) AmDCrath
Answer any 1 questions from 5 to 6 . Each carries 4 Marks.
5 a) Find the area enclosed by the circle using integration.
b) If , then .
6. a) Find the area of the region bounded by and the -axis in the first quadrant.
b) Find
a) Find -
(3)
(1)
b) किणनाइक
Answer any 2 questions from 7 to 9 . Each carries 6 Marks .
7. a) The length of a rectangle is increasing at the rate of and the width is decreasing at the rate of . When and .
i) Find the rates of change of its area.
ii) Find the rates of change of the perimeter of the rectangle.

Ask by Rodriquez Ruiz. in India
Jan 08,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Solución

To evaluate the integral:
we can use a substitution method involving inverse trigonometric functions.

Step 1: Recognize the Integral Form

The integral resembles the standard form:
where and .

Step 2: Apply Substitution

Let’s set:
Substituting these into the integral:
Simplify inside the square root:
So the integral becomes:

Step 3: Integrate

The integral of is :

Step 4: Substitute Back

Recall that :

Final Answer

Where is the constant of integration.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Extra Insights

To solve the integral , we can use a trigonometric substitution. Let . Consequently, , and the integral transforms nicely into after adjusting the limits based on the substitution. This ultimately leads to .
Now, for the area enclosed by the circle given by the equation , we can set up the integral by solving for : . The area is found using the symmetry of the circle: . Evaluating this integral with a substitution (like ) is a fun challenge that ultimately gives you the total area of square units!

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