El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=9 x \sqrt{\operatorname{sen} x} \), el eje X, el eje Y y la recta \( x=\frac{\pi}{2} \), alrededor del eje X es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por la función \( y=9x\sqrt{\sin x} \), el eje X, el eje Y y la recta \( x=\frac{\pi}{2} \), alrededor del eje X, podemos utilizar la fórmula del volumen de un sólido de revolución: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] En este caso, la función \( f(x) = 9x\sqrt{\sin x} \) y el límite inferior es \( a = 0 \) y el límite superior es \( b = \frac{\pi}{2} \). Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (9x\sqrt{\sin x})^2 \, dx \] Ahora, podemos calcular el volumen integrando la función \( (9x\sqrt{\sin x})^2 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = \frac{\pi}{2} \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using partial integration formula: \(\pi \times \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \left(9x\sqrt{\sin\left(x\right)}\right)^{2} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\pi \left(81\pi -162\right)\) - step2: Apply the distributive property: \(\pi \times 81\pi -\pi \times 162\) - step3: Multiply the numbers: \(81\pi ^{2}-\pi \times 162\) - step4: Reorder the terms: \(81\pi ^{2}-162\pi \) El volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por la función \( y=9x\sqrt{\sin x} \), el eje X, el eje Y y la recta \( x=\frac{\pi}{2} \), alrededor del eje X, es \( 81\pi^2 - 162\pi \).