Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}:-10 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=-20 $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ : $$ 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=50 $$. Die Ebene F ist parallel $$ \mathrm{zu} \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . $$ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} $$

Question

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Um die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Normale Vektoren vergleichen:**
   - Die Ebene $$ \mathrm{E}_{1} $$ hat die Gleichung: $$ -10x_{1} -2x_{2} -2x_{3} = -20 $$
     - Normalenvektor: $$ \mathbf{n} = (-10, -2, -2) $$
   - Die Ebene $$ \mathrm{E}_{2} $$ hat die Gleichung: $$ 5x_{1} + x_{2} + x_{3} = 50 $$
     - Normalenvektor: $$ \mathbf{n} = (5, 1, 1) $$
   - Beachte, dass $$ \mathbf{n}_{\mathrm{E}_{2}} = -0,5 \mathbf{n}_{\mathrm{E}_{1}} $$, also sind die Ebenen parallel.

2. **Normierte Gleichungen aufstellen:**
   - Um die Distanzformel anzuwenden, stellen wir beide Ebenen in der Form $$ ax + by + cz + d = 0 $$ dar:
     - $$ \mathrm{E}_{1}: -10x_{1} -2x_{2} -2x_{3} + 20 = 0 $$
     - $$ \mathrm{E}_{2}: 5x_{1} + x_{2} + x_{3} - 50 = 0 $$
     - Um gleiche Normalenvektoren zu haben, multiplizieren wir die Gleichung von $$ \mathrm{E}_{2} $$ mit $$-2$$:
       - $$ \mathrm{E}_{2}: -10x_{1} -2x_{2} -2x_{3} + 100 = 0 $$

3. **Mittlere Ebene bestimmen:**
   - Die mittlere Ebene $$ \mathrm{F} $$ liegt genau zwischen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$. Die Konstante $$ d $$ für die mittlere Ebene ist der Durchschnitt der Konstanten von $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$:
     - $$ d_{\mathrm{F}} = \frac{20 + 100}{2} = 60 $$
   - Somit ist die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:
     $$
     -10x_{1} -2x_{2} -2x_{3} + 60 = 0
     $$
   - Dies kann vereinfacht werden zu:
     $$
     5x_{1} + x_{2} + x_{3} = 30
     $$

**Endgültige Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:**
$$
\boxed{5\,x_{1} +\,x_{2} +\,x_{3}\;=\;30}
$$
Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ hat die Gleichung $$ 5x_{1} + x_{2} + x_{3} = 30 $$.

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