Pregunta
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Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und :
. Die Ebene F ist parallel und und hat von beiden Ebenen den
gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .

Ask by Frank Little. in Germany
Jan 20,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Die Ebene hat die Gleichung .

Solución

Um die Gleichung der Ebene zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen und ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:
  1. Normale Vektoren vergleichen:
    • Die Ebene hat die Gleichung:
      • Normalenvektor:
    • Die Ebene hat die Gleichung:
      • Normalenvektor:
    • Beachte, dass , also sind die Ebenen parallel.
  2. Normierte Gleichungen aufstellen:
    • Um die Distanzformel anzuwenden, stellen wir beide Ebenen in der Form dar:
      • Um gleiche Normalenvektoren zu haben, multiplizieren wir die Gleichung von mit :
  3. Mittlere Ebene bestimmen:
    • Die mittlere Ebene liegt genau zwischen und . Die Konstante für die mittlere Ebene ist der Durchschnitt der Konstanten von und :
    • Somit ist die Gleichung der Ebene :
    • Dies kann vereinfacht werden zu:
Endgültige Gleichung der Ebene :

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Bonus Knowledge

Um eine Ebene zu bestimmen, die parallel zu und ist und den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, müssen wir zunächst die Normalenvektoren und die Abstände der Ebenen betrachten. Der Normalenvektor zur Ebene ist und zur Ebene ist . Zuerst bringen wir die Gleichungen in die Normalform:
Für :
Für :
Wir stellen nun den Abstand zwischen den Ebenen fest. Die Abstandsformel zwischen zwei parallelen Ebenen lässt sich verwenden, um den Abstand zu bestimmen.
Der Normalenvektor für die gesuchte Ebene kann als linearer Kombination der Normalenvektoren von und gesehen werden. Da die Abstände gleich sein sollen, finden wir den Mittelwert. Schließlich lautet die Gleichung der gesuchten Ebene :
Nach dem Berechnen erhalten wir z.B. .

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