Pregunta
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen
und
:
. Die Ebene F ist parallel
und
und hat von beiden Ebenen den
gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .
gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .
Ask by Frank Little. in Germany
Jan 20,2025
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
Respuesta verificada por el tutor
Responder
Die Ebene
hat die Gleichung
.
Solución
Um die Gleichung der Ebene
zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen
und
ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:
-
Normale Vektoren vergleichen:
- Die Ebene
hat die Gleichung: - Normalenvektor:
- Normalenvektor:
- Die Ebene
hat die Gleichung: - Normalenvektor:
- Normalenvektor:
- Beachte, dass
, also sind die Ebenen parallel.
- Die Ebene
-
Normierte Gleichungen aufstellen:
- Um die Distanzformel anzuwenden, stellen wir beide Ebenen in der Form
dar: -
-
- Um gleiche Normalenvektoren zu haben, multiplizieren wir die Gleichung von
mit : -
-
- Um die Distanzformel anzuwenden, stellen wir beide Ebenen in der Form
-
Mittlere Ebene bestimmen:
- Die mittlere Ebene
liegt genau zwischen und . Die Konstante für die mittlere Ebene ist der Durchschnitt der Konstanten von und : -
- Somit ist die Gleichung der Ebene
: - Dies kann vereinfacht werden zu:
- Die mittlere Ebene
Endgültige Gleichung der Ebene
:
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Como
error msg


Bonus Knowledge
Um eine Ebene
zu bestimmen, die parallel zu
und
ist und den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, müssen wir zunächst die Normalenvektoren und die Abstände der Ebenen betrachten. Der Normalenvektor zur Ebene
ist
und zur Ebene
ist
. Zuerst bringen wir die Gleichungen in die Normalform:
Für
:
Für
:
Wir stellen nun den Abstand zwischen den Ebenen fest. Die Abstandsformel zwischen zwei parallelen Ebenen lässt sich verwenden, um den Abstand
zu bestimmen.
Der Normalenvektor
für die gesuchte Ebene
kann als linearer Kombination der Normalenvektoren von
und
gesehen werden. Da die Abstände gleich sein sollen, finden wir den Mittelwert. Schließlich lautet die Gleichung der gesuchten Ebene
:
Nach dem Berechnen erhalten wir z.B.
.

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