Tentukan volume benda yang diperoleh dengan cara memutar
bidang yang dibatasi oleh mengelilingi sumba
menggunakan 2 cara :
a. Metoda cylindrical shells(metode Cicin).
b. Teorema pappus

Ask by Reid Barber. in Indonesia

Jan 10,2025

Question

Tentukan volume benda yang diperoleh dengan cara memutar
bidang yang dibatasi oleh mengelilingi sumba
menggunakan 2 cara :
a. Metoda cylindrical shells(metode Cicin).
b. Teorema pappus

Ask by Reid Barber. in Indonesia

Jan 10,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Untuk menentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar bidang yang dibatasi oleh kurva $$ (x-2)^2 + y^2 = 1 $$ mengelilingi sumbu $$ Y $$ (y-axis), kita akan menggunakan dua metode:

### a. Metode **Cylindrical Shells** (Metode Silinder)

**Langkah-langkah:**

1. **Identifikasi Kurva:**
   Kurva $$ (x-2)^2 + y^2 = 1 $$ adalah persamaan lingkaran dengan pusat di titik $$ (2, 0) $$ dan jari-jari $$ r = 1 $$.

2. **Tentukan Batas Integrasi:**
   Dari persamaan lingkaran, batas $$ x $$ adalah dari $$ 1 $$ hingga $$ 3 $$ (karena $$ x = 2 \pm 1 $$).

3. **Rumus Metode Silinder:**
   Volume $$ V $$ dapat dihitung dengan:
   $$
   V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx
   $$
   Di mana $$ f(x) $$ adalah fungsi untuk $$ y $$.

4. **Ekspresikan $$ y $$ dalam bentuk $$ x $$:**
   Dari $$ (x-2)^2 + y^2 = 1 $$,
   $$
   y = \sqrt{1 - (x-2)^2}
   $$
   Karena simetri, kita hanya perlu menghitung satu sisi dan mengalikannya dua.

5. **Hitung Integral:**
   $$
   V = 2\pi \int_{1}^{3} x \cdot 2\sqrt{1 - (x-2)^2} \, dx
   $$
   Sederhanakan:
   $$
   V = 4\pi \int_{1}^{3} x \sqrt{1 - (x-2)^2} \, dx
   $$

6. **Substitusi:**
   Untuk memudahkan, lakukan substitusi $$ u = x - 2 $$, sehingga $$ du = dx $$, batas integral menjadi dari $$ u = -1 $$ hingga $$ u = 1 $$. Ekspresi integral menjadi:
   $$
   V = 4\pi \int_{-1}^{1} (u + 2) \sqrt{1 - u^2} \, du
   $$
   Pemisahan integral:
   $$
   V = 4\pi \left( \int_{-1}^{1} u \sqrt{1 - u^2} \, du + 2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - u^2} \, du \right)
   $$
   Integral pertama adalah nol karena fungsi ganjil. Integral kedua adalah $$ 2 \times \frac{\pi}{2} $$ (area setengah lingkaran).

7. **Evaluasi:**
   $$
   V = 4\pi \times 2 \times \left( \frac{\pi}{2} \right) = 4\pi \times \pi = 4\pi^2
   $$

**Jadi, volume benda adalah $$ 4\pi^2 $$ satuan kubik.**

### b. **Teorema Pappus**

**Langkah-langkah:**

1. **Identifikasi Kurva dan Area:**
   Kurva $$ (x-2)^2 + y^2 = 1 $$ adalah lingkaran dengan jari-jari $$ r = 1 $$. Area $$ A $$ dari lingkaran adalah:
   $$
   A = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi
   $$

2. **Tentukan Titik Centroid:**
   Karena lingkaran simetris, centroidnya berada di pusat lingkaran, yaitu di titik $$ (2, 0) $$.

3. **Hitung Jarak Centroid ke Sumbu Rotasi (Y-axis):**
   $$
   d = 2 \text{ (jarak dari } x = 2 \text{ ke } x = 0)
   $$

4. **Rumus Teorema Pappus:**
   Volume $$ V $$ adalah:
   $$
   V = A \times (2\pi \times d)
   $$
   Sehingga:
   $$
   V = \pi \times (2\pi \times 2) = \pi \times 4\pi = 4\pi^2
   $$

**Jadi, volume benda berdasarkan teorema Pappus juga adalah $$ 4\pi^2 $$ satuan kubik.**

### **Kesimpulan**
Menggunakan kedua metode **Cylindrical Shells** dan **Teorema Pappus**, kita memperoleh volume benda yang sama, yaitu $$ 4\pi^2 $$ satuan kubik.
Volume benda yang diperoleh dengan memutar bidang yang dibatasi oleh kurva $$ (x-2)^2 + y^2 = 1 $$ mengelilingi sumbu $$ Y $$ adalah $$ 4\pi^2 $$ satuan kubik.

Tentukan volume benda yang diperoleh dengan cara memutar
bidang yang dibatasi oleh mengelilingi sumba
menggunakan 2 cara :
a. Metoda cylindrical shells(metode Cicin).
b. Teorema pappus

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Tentukan volume benda yang diperoleh dengan cara memutar bidang yang dibatasi oleh mengelilingi sumba menggunakan 2 cara : a. Metoda cylindrical shells(metode Cicin). b. Teorema pappus

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Tentukan volume benda yang diperoleh dengan cara memutar
bidang yang dibatasi oleh mengelilingi sumba
menggunakan 2 cara :
a. Metoda cylindrical shells(metode Cicin).
b. Teorema pappus