2. Considere \( f^{\prime \prime}(x) \) es continua y los siguientes valores \( f(1)=2, f(4)=7, f^{\prime}(1)=5, f^{\prime}(4)=3 \). Proce- diendo por partes, el valor de la integral definida \( \int_{1}^{4} x f^{\prime \prime}(x) d x \), es: \( \begin{array}{lll}\text { a) } 2 & \text { b) } 6 & \text { c) } 12\end{array} \) \[ \int\left(2 x^{2}+1\right) e^{x^{2}} d x \] \( \begin{array}{l}\text { 3. Se ha pedido a los estudiantes de un curso que cal- } \\ \text { culen la integral } \\ \text { Sofía realiza su procedimiento y no logra calcular la } \\ \text { integral ya aduciendo que } g(x)=e^{x^{2}} \text { no tiene una } \\ \text { antiderivada elemental. Tomás por su parte argu- } \\ \text { menta que si es posible calcularla siempre y cuando } \\ \text { se utilice un método de integración de forma ade- } \\ \text { cuada. Ambos discuten y tratan de argumentar sus } \\ \text { procedimientos y respuestas. Respecto a esta situa- } \\ \text { ción usted opina que }\end{array} \)
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Para calcular la integral \( \int_{1}^{4} x f^{\prime \prime}(x) d x \), podemos usar la integración por partes. Aplicamos la fórmula \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \). Elegimos \( u = x \) y \( dv = f^{\prime \prime}(x) dx \), así \( du = dx \) y \( v = f'(x) \). Evaluando de 1 a 4, nos da \( x f'(x) \big|_1^4 - \int_{1}^{4} f'(x) dx \). Luego, basta calcular los términos para llegar al resultado. Respecto a la integral \( \int (2x^{2}+1)e^{x^{2}}dx \), es cierto que \( g(x) = e^{x^{2}} \) no tiene una antiderivada elemental. Sin embargo, Tomás tiene razón al decir que se puede calcular usando métodos como la integración por partes o series de Taylor. Por lo tanto, aunque el resultado no sea una función elemental, sí podemos aproximar su valor numéricamente o mediante técnicas especializadas. ¡La matemática siempre tiene un truquito bajo la manga!
