2. Considere $$ f^{\prime \prime}(x) $$ es continua y los siguientes valores $$ f(1)=2, f(4)=7, f^{\prime}(1)=5, f^{\prime}(4)=3 $$. Proce- diendo por partes, el valor de la integral definida $$ \int_{1}^{4} x f^{\prime \prime}(x) d x $$, es: $$ \begin{array}{lll}\text { a) } 2 & \text { b) } 6 & \text { c) } 12\end{array} $$ $$ \int\left(2 x^{2}+1\right) e^{x^{2}} d x $$ $$ \begin{array}{l}\text { 3. Se ha pedido a los estudiantes de un curso que cal- } \ \text { culen la integral } \ \text { Sofía realiza su procedimiento y no logra calcular la } \ \text { integral ya aduciendo que } g(x)=e^{x^{2}} \text { no tiene una } \ \text { antiderivada elemental. Tomás por su parte argu- } \ \text { menta que si es posible calcularla siempre y cuando } \ \text { se utilice un método de integración de forma ade- } \ \text { cuada. Ambos discuten y tratan de argumentar sus } \ \text { procedimientos y respuestas. Respecto a esta situa- } \ \text { ción usted opina que }\end{array} $$

Question

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Para resolver la integral definida $$ \int_{1}^{4} x f''(x) \, dx $$ utilizando integración por partes, seguimos los siguientes pasos:

**Paso 1: Seleccionar las partes**
Elegimos:
- $$ u = x $$ 
- $$ dv = f''(x) \, dx $$

**Paso 2: Calcular $$ du $$ y $$ v $$**
- Derivamos $$ u $$: 
  $$
  du = dx
  $$
- Integramos $$ dv $$: 
  $$
  v = \int f''(x) \, dx = f'(x)
  $$

**Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes**
La fórmula de integración por partes es:
$$
\int u \, dv = u v - \int v \, du
$$
Aplicándola a nuestra integral:
$$
\int x f''(x) \, dx = x f'(x) - \int f'(x) \, dx = x f'(x) - f(x) + C
$$
donde $$ C $$ es la constante de integración.

**Paso 4: Evaluar la integral definida de 1 a 4**
Sustituyendo los límites de integración:
$$
\left[ x f'(x) - f(x) \right]_{1}^{4} = \left(4 f'(4) - f(4)\right) - \left(1 f'(1) - f(1)\right)
$$
Sustituyendo los valores dados:
$$
= \left(4 \cdot 3 - 7\right) - \left(1 \cdot 5 - 2\right) = (12 - 7) - (5 - 2) = 5 - 3 = 2
$$

**Respuesta Final:**
La integral definida $$ \int_{1}^{4} x f''(x) \, dx $$ es igual a **2**, por lo tanto, la respuesta correcta es:

**a) 2**
La integral definida $$ \int_{1}^{4} x f''(x) \, dx $$ es igual a **2**.

Considere es continua y los siguientes valores
. Proce-
diendo por partes, el valor de la integral definida
, es:

$í á é ó ó$

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Considere es continua y los siguientes valores . Proce- diendo por partes, el valor de la integral definida , es: íáéóó