c) $$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x}+\sqrt{y}=6 \ x+y-5=7\end{array} ight. $$

Question

c) $$ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 x}+\sqrt{y}=6 \ x+y-5=7\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el sistema de ecuaciones:

$$
\begin{cases}
\sqrt{2x} + \sqrt{y} = 6 \
x + y - 5 = 7
\end{cases}
$$

**Paso 1:** Simplificar la segunda ecuación.

$$
x + y - 5 = 7 \implies x + y = 12 \implies y = 12 - x
$$

**Paso 2:** Sustituir $$ y = 12 - x $$ en la primera ecuación.

$$
\sqrt{2x} + \sqrt{12 - x} = 6
$$

**Paso 3:** Resolver la ecuación resultante.

Sea $$ u = \sqrt{2x} $$ y $$ v = \sqrt{12 - x} $$. Entonces:

$$
u + v = 6
$$

Además,

$$
u^2 = 2x \implies x = \frac{u^2}{2}
$$
$$
v^2 = 12 - x \implies x = 12 - v^2
$$

Igualando las dos expresiones para $$ x $$:

$$
\frac{u^2}{2} = 12 - v^2 \implies u^2 + 2v^2 = 24
$$

Sustituyendo $$ u = 6 - v $$:

$$
(6 - v)^2 + 2v^2 = 24
$$
$$
36 - 12v + v^2 + 2v^2 = 24
$$
$$
3v^2 - 12v + 36 = 24
$$
$$
3v^2 - 12v + 12 = 0 \implies v^2 - 4v + 4 = 0 \implies (v - 2)^2 = 0 \implies v = 2
$$

Entonces,

$$
u = 6 - v = 6 - 2 = 4
$$

**Paso 4:** Encontrar $$ x $$ y $$ y $$.

$$
u = \sqrt{2x} \implies 4 = \sqrt{2x} \implies 2x = 16 \implies x = 8
$$
$$
v = \sqrt{y} \implies 2 = \sqrt{y} \implies y = 4
$$

**Verificación:**

Primera ecuación:

$$
\sqrt{2 \cdot 8} + \sqrt{4} = \sqrt{16} + 2 = 4 + 2 = 6 \quad \text{(cumple)}
$$

Segunda ecuación:

$$
8 + 4 = 12 \quad \text{(cumple)}
$$

**Conclusión:**

La solución del sistema es $$ x = 8 $$ y $$ y = 4 $$.
La solución es $$ x = 8 $$ y $$ y = 4 $$.

c)

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