1) $$ \frac{x-2}{x-3}-\frac{2 x^{2}+x-13}{x^{2}+2 x-15}+\frac{x+1}{x+5} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos la expresión

$$
\frac{x-2}{x-3}-\frac{2x^2+x-13}{x^2+2x-15}+\frac{x+1}{x+5}.
$$

**Paso 1. Factorizar denominadores**

Observamos que el denominador $$x^2+2x-15$$ se puede factorizar:

$$
x^2+2x-15 = (x+5)(x-3).
$$

Por lo tanto, la expresión se puede escribir como

$$
\frac{x-2}{x-3} - \frac{2x^2+x-13}{(x+5)(x-3)} + \frac{x+1}{x+5}.
$$

**Paso 2. Encontrar el común denominador**

El común denominador de los tres términos es $$(x-3)(x+5)$$. Reescribamos cada fracción:

- Para $$\frac{x-2}{x-3}$$ multiplicamos numerador y denominador por $$(x+5)$$:

$$
  \frac{x-2}{x-3} = \frac{(x-2)(x+5)}{(x-3)(x+5)}.
  $$

- La segunda fracción ya tiene el denominador $$(x-3)(x+5)$$.

- Para $$\frac{x+1}{x+5}$$ multiplicamos numerador y denominador por $$(x-3)$$:

$$
  \frac{x+1}{x+5} = \frac{(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-3)}.
  $$

Con lo anterior, la expresión se transforma en

$$
\frac{(x-2)(x+5)}{(x-3)(x+5)} - \frac{2x^2+x-13}{(x-3)(x+5)} + \frac{(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+5)}.
$$

**Paso 3. Expandir los numeradores**

Calculemos cada uno:

1. Expandir $$(x-2)(x+5)$$:

$$
   (x-2)(x+5)= x^2 + 5x - 2x -10 = x^2 + 3x - 10.
   $$

2. El numerador del segundo término ya es $$2x^2+x-13$$.

3. Expandir $$(x+1)(x-3)$$:

$$
   (x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3.
   $$

**Paso 4. Combinar los numeradores**

Sustituimos en la fracción común:

$$
\frac{x^2+3x-10 - (2x^2+x-13) + (x^2-2x-3)}{(x-3)(x+5)}.
$$

Procedemos a agrupar términos:

- Términos en $$x^2$$:

$$
  x^2 - 2x^2 + x^2 = 0.
  $$

- Términos en $$x$$:

$$
  3x - x -2x = 0.
  $$

- Términos constantes:

$$
  -10 + 13 -3 = 0.
  $$

Por lo tanto, el numerador se simplifica a $$0$$.

**Paso 5. Conclusión**

Dado que el numerador es $$0$$, la expresión completa se reduce a

$$
\frac{0}{(x-3)(x+5)} = 0,
$$

siempre y cuando $$x \neq 3$$ y $$x \neq -5$$ (para evitar división por cero).

La respuesta final es:

$$
0.
$$
La expresión simplifica a $$0$$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy