Śtevilo 2 je dvakratna ničla polinoma $$ p(x)=2 x^{4}-3 x^{3}-15 x^{2}+a x-12 $$. Izračunajte koeficient $$ a $$ in preostali nićli polinoma $$ p $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Da bi ugotovili, da je $$ x = 2 $$ dvakratna ničla polinoma $$ p(x) = 2x^4 - 3x^3 - 15x^2 + ax - 12 $$, moramo izpolniti dve pogoji:

1. $$ p(2) = 0 $$
2. $$ p'(2) = 0 $$

Najprej izračunajmo $$ p(2) $$:

$$
p(2) = 2(2^4) - 3(2^3) - 15(2^2) + a(2) - 12
$$
$$
= 2(16) - 3(8) - 15(4) + 2a - 12
$$
$$
= 32 - 24 - 60 + 2a - 12
$$
$$
= 32 - 24 - 60 - 12 + 2a
$$
$$
= -64 + 2a
$$

Zdaj postavimo $$ p(2) = 0 $$:

$$
-64 + 2a = 0
$$
$$
2a = 64
$$
$$
a = 32
$$

Sedaj imamo koeficient $$ a = 32 $$. Zdaj moramo preveriti še drugi pogoj, to je $$ p'(2) = 0 $$.

Najprej izračunajmo derivacijo polinoma $$ p(x) $$:

$$
p'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 3x^3 - 15x^2 + 32x - 12)
$$
$$
= 8x^3 - 9x^2 - 30x + 32
$$

Sedaj izračunajmo $$ p'(2) $$:

$$
p'(2) = 8(2^3) - 9(2^2) - 30(2) + 32
$$
$$
= 8(8) - 9(4) - 60 + 32
$$
$$
= 64 - 36 - 60 + 32
$$
$$
= 64 - 36 - 60 + 32 = 0
$$

Tako je tudi $$ p'(2) = 0 $$, kar potrjuje, da je $$ x = 2 $$ dvakratna ničla.

Sedaj moramo najti preostale ničle polinoma $$ p(x) $$. Ker je $$ x = 2 $$ dvakratna ničla, lahko polinom $$ p(x) $$ zapišemo kot:

$$
p(x) = (x - 2)^2 q(x)
$$

kjer je $$ q(x) $$ polinom stopnje 2. Uporabimo deljenje polinomov, da najdemo $$ q(x) $$.

Najprej delimo $$ p(x) $$ z $$ (x - 2)^2 $$:

1. Izračunamo $$ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 $$.
2. Uporabimo sintetično deljenje ali polinomno deljenje.

Ko delimo $$ p(x) $$ z $$ (x - 2)^2 $$, dobimo:

$$
p(x) = (x^2 - 4x + 4)(2x^2 + bx + c)
$$

Zdaj moramo najti $$ b $$ in $$ c $$. Ko razširimo desno stran in primerjamo koeficiente, dobimo:

$$
2x^4 + bx^3 + cx^2 - 8x^3 - 4bx^2 - 4cx + 8x^2 + 4bx + 4c
$$

Koeficienti morajo ustrezati koeficientom iz $$ p(x) $$. Po izračunih in primerjavah koeficientov dobimo:

1. $$ b - 8 = -3 $$ (koeficient pri $$ x^3 $$)
2. $$ c - 4b + 8 = -15 $$ (koeficient pri $$ x^2 $$)
3. $$ -4c + 4b = 32 $$ (koeficient pri $$ x $$)
4. $$ 4c = -12 $$ (konstantni člen)

Rešimo te enačbe, da najdemo $$ b $$ in $$ c $$.

Na koncu bomo dobili preostale ničle polinoma $$ p(x) $$.

Zdaj, ko imamo $$ a = 32 $$, lahko zaključimo, da so preostale ničle polinoma $$ p(x) $$ tiste, ki jih najdemo iz $$ q(x) $$.

Na koncu, ko izračunamo $$ q(x) $$, bomo dobili preostale ničle.

Tako je koeficient $$ a = 32 $$, preostale ničle pa bomo našli z reševanjem kvadratne enačbe $$ q(x) $$.
Koeficient $$ a $$ je 32. Preostale ničle polinoma $$ p(x) $$ bomo našli z reševanjem kvadratne enačbe $$ q(x) $$.

Śtevilo 2 je dvakratna ničla polinoma .
Izračunajte koeficient in preostali nićli polinoma

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions

Śtevilo 2 je dvakratna ničla polinoma . Izračunajte koeficient in preostali nićli polinoma