h) $$ \int \frac{\arctan (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}+2 x^{2}+x}} d x $$ i) $$ \int \frac{x d x}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, resolvamos las integrales paso a paso en español.

---

### **h) $$\displaystyle \int \frac{\arctan (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}+2 x^{2}+x}} \, dx$$**

**Paso 1: Simplificar el denominador**

Primero, observamos el denominador:

$$
\sqrt{x^{3} + 2x^{2} + x}
$$

Podemos factorizar el polinomio dentro de la raíz:

$$
x^{3} + 2x^{2} + x = x(x^{2} + 2x + 1) = x(x + 1)^2
$$

Entonces, el denominador se simplifica a:

$$
\sqrt{x(x + 1)^2} = (x + 1)\sqrt{x}
$$

**Paso 2: Reescribir la integral**

Sustituyendo la simplificación en la integral original:

$$
\int \frac{\arctan(\sqrt{x})}{(x + 1)\sqrt{x}} \, dx
$$

**Paso 3: Cambio de variable**

Hagamos el cambio de variable siguiente:

$$
t = \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^2 \quad \Rightarrow \quad dx = 2t \, dt
$$

Sustituyendo en la integral:

$$
\int \frac{\arctan(t)}{(t^2 + 1)t} \cdot 2t \, dt = 2 \int \frac{\arctan(t)}{t^2 + 1} \, dt
$$

**Paso 4: Integración por partes**

Aplicamos la integración por partes donde:

$$
u = \arctan(t) \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{1 + t^2} \, dt
$$
$$
dv = \frac{1}{1 + t^2} \, dt \quad \Rightarrow \quad v = \arctan(t)
$$

La fórmula de integración por partes es:

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

Aplicándola:

$$
2 \left[ \arctan(t) \cdot \arctan(t) - \int \arctan(t) \cdot \frac{1}{1 + t^2} \, dt \right]
$$

Observamos que la integral resultante es similar a la original, lo que sugiere que:

$$
2 \int \frac{\arctan(t)}{1 + t^2} \, dt = (\arctan(t))^2 + C
$$

**Paso 5: Sustitución inversa**

Reemplazamos $$ t = \sqrt{x} $$:

$$
(\arctan(t))^2 + C = (\arctan(\sqrt{x}))^2 + C
$$

**Respuesta Final:**

$$
\int \frac{\arctan (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}+2 x^{2}+x}} \, dx = (\arctan(\sqrt{x}))^2 + C
$$

---

### **i) $$\displaystyle \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}$$ }$$**

**Paso 1: Simplificar el denominador**

Primero, identifiquemos una expresión común:

$$
y = 1 + x^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{y^3} = y^{3/2}
$$

El denominador se convierte en:

$$
\sqrt{1 + x^2 + \sqrt{(1 + x^2)^3}} = \sqrt{y + y^{3/2}} = \sqrt{y(1 + y^{1/2})} = \sqrt{y} \cdot \sqrt{1 + \sqrt{y}} = \sqrt{1 + x^2} \cdot \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}
$$

**Paso 2: Cambio de variable**

Definamos:

$$
t = \sqrt{1 + x^2} \quad \Rightarrow \quad t^2 = 1 + x^2
$$

Diferenciando ambos lados respecto a $$ x $$:

$$
2t \frac{dt}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad \frac{dt}{dx} = \frac{x}{t} \quad \Rightarrow \quad x \, dx = t \, dt
$$

**Paso 3: Reescribir la integral**

Sustituyendo en la integral:

$$
\int \frac{x \, dx}{t \cdot \sqrt{1 + t}} = \int \frac{t \, dt}{t \cdot \sqrt{1 + t}} = \int \frac{dt}{\sqrt{1 + t}}
$$

**Paso 4: Integrar**

La integral se simplifica a:

$$
\int (1 + t)^{-1/2} \, dt = 2 \sqrt{1 + t} + C
$$

**Paso 5: Sustitución inversa**

Reemplazamos $$ t = \sqrt{1 + x^2} $$:

$$
2 \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}} + C
$$

**Respuesta Final:**

$$
\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}} = 2 \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}} + C
$$

---

Donde $$ C $$ es la constante de integración.
**h)** $$ \int \frac{\arctan (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}+2 x^{2}+x}} \, dx = (\arctan(\sqrt{x}))^2 + C $$ **i)** $$ \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}} = 2 \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}} + C $$

h)
i)

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h) i)