11. De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa dada, el de mayor área es un triángulo A. cuyos catetos están en la proporción 2 a 1. B. isósceles. C. escaleno. D. equilátero.

Question

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Sea un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud $$ c $$ y catetos $$ a $$ y $$ b $$. Suponiendo que $$ a $$ y $$ b $$ son variables, se cumple que

$$
a^2 + b^2 = c^2.
$$

El área $$ A $$ del triángulo es

$$
A = \frac{1}{2}ab.
$$

Para maximizar el área, podemos expresar $$ A $$ en función de un único ángulo. Una forma de hacerlo es introducir un ángulo $$ \theta $$ tal que $$ a = c\cos\theta $$ y $$ b = c\sin\theta $$. Entonces,

$$
A = \frac{1}{2}(c\cos\theta)(c\sin\theta) = \frac{1}{2}c^2 \cos\theta \sin\theta.
$$

Utilizando la identidad trigonométrica

$$
\cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta),
$$

obtenemos

$$
A = \frac{1}{2}c^2 \cdot \frac{1}{2}\sin(2\theta) = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\theta).
$$

El área es máxima cuando $$\sin(2\theta)$$ es máxima, es decir, $$\sin(2\theta) = 1$$. Esto ocurre cuando

$$
2\theta = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{4}.
$$

Con esto, se tiene

$$
a = c\cos\frac{\pi}{4} = \frac{c}{\sqrt{2}},\quad b = c\sin\frac{\pi}{4} = \frac{c}{\sqrt{2}}.
$$

Por lo tanto, los catetos son iguales, lo que significa que el triángulo es isósceles.

La respuesta correcta es:

B. isósceles.
El triángulo rectángulo de mayor área con hipotenusa dada es isósceles.

De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa dada, el de mayor área es un triángulo
A. cuyos catetos están en la proporción 2 a 1.
B. isósceles.
C. escaleno.
D. equilátero.

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