Dato il quadrilatero $$ A B C D $$ di vertici $$ A(0 ;-1), B(-1 ; 0), C\left(0 ; \frac{1}{3}\right), D(3 ; 0) $$, verifica che si tratta di un tra- pezio, calcola la sua area e determina il punto di incontro delle diagonali.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per verificare che il quadrilatero $$ABCD$$ sia un trapezio, calcolare la sua area e determinare il punto di incontro delle diagonali, seguiamo i seguenti passi:

### 1. Verifica che $$ABCD$$ sia un trapezio

Un trapezio è un quadrilatero che ha almeno un paio di lati paralleli. Calcoliamo le pendenze (m) dei lati:

- **Lato $$AB$$:** Da $$A(0, -1)$$ a $$B(-1, 0)$$
  $$
  m_{AB} = \frac{0 - (-1)}{-1 - 0} = \frac{1}{-1} = -1
  $$

- **Lato $$BC$$:** Da $$B(-1, 0)$$ a $$C(0, \frac{1}{3})$$
  $$
  m_{BC} = \frac{\frac{1}{3} - 0}{0 - (-1)} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}
  $$

- **Lato $$CD$$:** Da $$C(0, \frac{1}{3})$$ a $$D(3, 0)$$
  $$
  m_{CD} = \frac{0 - \frac{1}{3}}{3 - 0} = \frac{-1/3}{3} = -\frac{1}{9}
  $$

- **Lato $$DA$$:** Da $$D(3, 0)$$ a $$A(0, -1)$$
  $$
  m_{DA} = \frac{-1 - 0}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
  $$

Osserviamo che i lati $$BC$$ e $$DA$$ hanno entrambi pendenza $$\frac{1}{3}$$, quindi sono paralleli. Pertanto, $$ABCD$$ è un trapezio.

### 2. Calcolo dell'area del trapezio

La formula per l'area di un trapezio è:
$$
\text{Area} = \frac{(b_1 + b_2)}{2} \times h
$$
dove $$b_1$$ e $$b_2$$ sono le lunghezze dei lati paralleli e $$h$$ è l'altezza (distanza tra i lati paralleli).

**Calcoliamo le lunghezze dei lati paralleli:**

- **Lunghezza $$BC$$:**
  $$
  BC = \sqrt{(0 - (-1))^2 + \left(\frac{1}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}
  $$

- **Lunghezza $$DA$$:**
  $$
  DA = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
  $$

**Calcoliamo l'altezza $$h$$:**

Le equazioni delle rette parallele $$BC$$ e $$DA$$ sono:
$$
\begin{cases}
y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} & \text{(BC)} \
y = \frac{1}{3}x - 1 & \text{(DA)}
\end{cases}
$$
La distanza tra due rette parallele $$y = mx + c_1$$ e $$y = mx + c_2$$ è:
$$
h = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{\left| -1 - \frac{1}{3} \right|}{\sqrt{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{4}{\sqrt{10}}
$$

**Calcoliamo l'area:**
$$
\text{Area} = \frac{\left(\frac{\sqrt{10}}{3} + \sqrt{10}\right)}{2} \times \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{\left(\frac{4\sqrt{10}}{3}\right)}{2} \times \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{8}{3}
$$

### 3. Punto di incontro delle diagonali

Le diagonali del trapezio sono $$AC$$ e $$BD$$.

- **Diagonale $$AC$$:** Da $$A(0, -1)$$ a $$C(0, \frac{1}{3})$$. Questa è la retta verticale $$x = 0$$.
  
- **Diagonale $$BD$$:** Da $$B(-1, 0)$$ a $$D(3, 0)$$. Questa è la retta orizzontale $$y = 0$$.

L'intersezione delle diagonali avviene nel punto:
$$
(0, 0)
$$

### Riassunto

- **Tipo di quadrilatero:** $$ABCD$$ è un trapezio.
- **Area:** $$\frac{8}{3}$$ unità quadrate.
- **Punto di incontro delle diagonali:** $$O(0, 0)$$.
Il quadrilatero $$ABCD$$ è un trapezio. L'area del trapezio è $$\frac{8}{3}$$ unità quadrate e le diagonali si incontrano nel punto $$O(0, 0)$$.

Dato il quadrilatero \( A B C D \) di vertici \( A(0 ;-1), B(-1 ; 0), C\left(0 ; \frac{1}{3}\right), D(3 ; 0) \), verifica che si tratta di un tra- pezio, calcola la sua area e determina il punto di incontro delle diagonali.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions