b) $$ \frac{(x+3)!(x+5)}{(x+3)!(x+4)+(x+3)}=120 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la ecuación:

$$
\frac{(x + 3)! \cdot (x + 5)}{(x + 3)! \cdot (x + 4) + (x + 3)} = 120
$$

**Paso 1: Simplificación de la ecuación**

Primero, notemos que $$(x + 3)!$$ aparece tanto en el numerador como en el denominador. Supongamos que $$y = x + 3$$, entonces la ecuación se convierte en:

$$
\frac{y! \cdot (y + 2)}{y! \cdot (y + 1) + y} = 120
$$

Simplificando:

$$
\frac{y! \cdot (y + 2)}{(y + 1)! + y} = 120
$$

Como $$(y + 1)! = (y + 1) \cdot y!$$, podemos reescribir el denominador:

$$
\frac{y! \cdot (y + 2)}{(y + 1) \cdot y! + y} = \frac{y + 2}{y + 1 + \frac{y}{y!}} = 120
$$

**Paso 2: Análisis de soluciones posibles**

Buscamos valores enteros de $$y$$ que satisfagan la ecuación. Probemos algunos valores:

- **Para $$y = 1$$:**

$$
  \frac{1! \cdot 3}{2! + 1} = \frac{3}{2 + 1} = 1 \neq 120
  $$

- **Para $$y = 2$$:**

$$
  \frac{2! \cdot 4}{3! + 2} = \frac{8}{6 + 2} = 1 \neq 120
  $$

- **Para $$y = 3$$:**

$$
  \frac{6 \cdot 5}{24 + 3} = \frac{30}{27} \approx 1.11 \neq 120
  $$

- **Valores mayores de $$y$$:**

Observamos que al aumentar $$y$$, el valor de la fracción se aproxima a 1, lo cual está muy lejos de 120.

**Paso 3: Conclusión**

Dado que para valores enteros positivos de $$y$$ (y por lo tanto de $$x$$) la expresión solo se acerca a 1 y no a 120, concluimos que **no existe una solución entera real para la ecuación dada**.

Además, intentar resolver la ecuación para valores no enteros de $$x$$ implica manejar la función Gamma ($$\Gamma$$), lo cual complica aún más la solución y no garantiza la existencia de soluciones reales.

**Respuesta Final:**

No existe un valor real o entero de $$x$$ que satisfaga la ecuación dada.
No existe una solución para la ecuación dada.

b)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Mind Expander

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