5. (i)(1.5p) Fie $$ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z)=x^{2} y^{2}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+1} $$ şi $$ \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{v}(x, y, z)=y z e^{x} \vec{i}+y e^{z} \vec{j}+x e^{y} \vec{k} $$. Calculaţi grad $$ f $$, div $$ \vec{v} $$, rot $$ \vec{v} $$. (ii) $$ \left(\mathbf{0 . 5 p}\right. $$ ) Arătaţi că dacă $$ \vec{v} $$ este un câmp vectorial de clasa $$ C^{1} $$ pe $$ \mathbb{R}^{3} $$ atunci $$ \operatorname{div}\left[r^{2} \vec{v}\right]=r^{2} \operatorname{div} \vec{v}+2 \vec{r} \cdot \vec{v} $$, unde $$ \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} $$ iar $$ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**(i) Calcularea grad $$ f $$, div $$ \vec{v} $$ și rot $$ \vec{v} $$**

1. **Grad $$ f $$ (Gradianul funcției scalare $$ f $$)**

Funcția dată este:
$$ f(x, y, z) = x^{2} y^{2} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} $$

Calculăm derivările parțiale:

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x y^{2} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^{2} y + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial z} = 0
$$

Astfel, gradianul lui $$ f $$ este:
$$
\text{grad } f = \left(2x y^{2} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}\right) \vec{i} + \left(2x^{2} y + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}\right) \vec{j} + 0 \vec{k}
$$

2. **Divergența lui $$ \vec{v} $$ (div $$ \vec{v} $$)**

Vectorul dat este:
$$
\vec{v}(x, y, z) = y z e^{x} \vec{i} + y e^{z} \vec{j} + x e^{y} \vec{k}
$$

Calculăm derivările parțiale:

$$
\frac{\partial}{\partial x}(y z e^{x}) = y z e^{x}
$$

$$
\frac{\partial}{\partial y}(y e^{z}) = e^{z}
$$

$$
\frac{\partial}{\partial z}(x e^{y}) = 0
$$

Astfel, divergența lui $$ \vec{v} $$ este:
$$
\text{div } \vec{v} = y z e^{x} + e^{z}
$$

3. **Rotora lui $$ \vec{v} $$ (rot $$ \vec{v} $$)**

Rotora se calculează folosind formula:
$$
\text{rot } \vec{v} = \left( \frac{\partial v_{z}}{\partial y} - \frac{\partial v_{y}}{\partial z} \right) \vec{i} + \left( \frac{\partial v_{x}}{\partial z} - \frac{\partial v_{z}}{\partial x} \right) \vec{j} + \left( \frac{\partial v_{y}}{\partial x} - \frac{\partial v_{x}}{\partial y} \right) \vec{k}
$$

Calculăm fiecare componentă:

$$
\frac{\partial v_{z}}{\partial y} = \frac{\partial (x e^{y})}{\partial y} = x e^{y}
$$
$$
\frac{\partial v_{y}}{\partial z} = \frac{\partial (y e^{z})}{\partial z} = y e^{z}
$$
$$
\frac{\partial v_{x}}{\partial z} = \frac{\partial (y z e^{x})}{\partial z} = y e^{x}
$$
$$
\frac{\partial v_{z}}{\partial x} = \frac{\partial (x e^{y})}{\partial x} = e^{y}
$$
$$
\frac{\partial v_{y}}{\partial x} = \frac{\partial (y e^{z})}{\partial x} = 0
$$
$$
\frac{\partial v_{x}}{\partial y} = \frac{\partial (y z e^{x})}{\partial y} = z e^{x}
$$

Astfel:

$$
\text{rot } \vec{v} = \left(x e^{y} - y e^{z}\right) \vec{i} + \left(y e^{x} - e^{y}\right) \vec{j} + \left(0 - z e^{x}\right) \vec{k} = \left(x e^{y} - y e^{z}\right) \vec{i} + \left(y e^{x} - e^{y}\right) \vec{j} - z e^{x} \vec{k}
$$

**(ii) Demonstratiea identității $$ \operatorname{div}\left[r^{2} \vec{v}\right] = r^{2} \operatorname{div} \vec{v} + 2 \vec{r} \cdot \vec{v} $$**

Avem:
$$
\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}, \quad r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}
$$

Folosim regula de divergență a produsului scalar și vectorial:
$$
\operatorname{div}(f \vec{v}) = \nabla f \cdot \vec{v} + f \operatorname{div} \vec{v}
$$
unde $$ f $$ este o funcție scalară de clasă $$ C^{1} $$.

Aplicând această regulă pentru $$ f = r^{2} $$:
$$
\nabla f = \nabla (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 2x \vec{i} + 2y \vec{j} + 2z \vec{k} = 2 \vec{r}
$$

Astfel:
$$
\operatorname{div}(r^{2} \vec{v}) = \nabla (r^{2}) \cdot \vec{v} + r^{2} \operatorname{div} \vec{v} = 2 \vec{r} \cdot \vec{v} + r^{2} \operatorname{div} \vec{v}
$$

Prin urmare, am demonstrat că:
$$
\operatorname{div}\left[r^{2} \vec{v}\right] = r^{2} \operatorname{div} \vec{v} + 2 \vec{r} \cdot \vec{v}
$$
**(i) Calcularea grad $$ f $$, div $$ \vec{v} $$ și rot $$ \vec{v} $$** 1. **Grad $$ f $$** $$ \text{grad } f = \left(2x y^{2} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}\right) \vec{i} + \left(2x^{2} y + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}\right) \vec{j} + 0 \vec{k} $$ 2. **Divergența lui $$ \vec{v} $$** $$ \text{div } \vec{v} = y z e^{x} + e^{z} $$ 3. **Rotora lui $$ \vec{v} $$** $$ \text{rot } \vec{v} = \left(x e^{y} - y e^{z}\right) \vec{i} + \left(y e^{x} - e^{y}\right) \vec{j} - z e^{x} \vec{k} $$ **(ii) Demonstratiea identității** $$ \operatorname{div}\left[r^{2} \vec{v}\right] = r^{2} \operatorname{div} \vec{v} + 2 \vec{r} \cdot \vec{v} $$ Demonstrația folosește regula de divergență a produsului scalar și vectorial, rezultând identitatea dorită.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions