2 Justica geomévicamente las siguerves atimaciones:
a. es un nu mero iradorat
b. Enla recte numérica, se encuentra - entre los nui menos enteros 0y 1 .
c. es un numerd macional ques encuerne entre 1 y 2

Ask by Bob Wilson. in Colombia

Mar 20,2025

Question

2 Justica geomévicamente las siguerves atimaciones:
a. es un nu mero iradorat
b. Enla recte numérica, se encuentra - entre los nui menos enteros 0y 1 .
c. es un numerd macional ques encuerne entre 1 y 2

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Consideremos cada afirmación y justifiquémosla geométricamente. --- **(a) $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es un número irracional** Una forma clásica de ver que $$ \sqrt{2} $$ es irracional es a través de la diagonal de un cuadrado. Sea un cuadrado de lado 1; su diagonal, por el teorema de Pitágoras, tiene longitud $$ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. $$ Se sabe (por el clásico argumento de reducción al absurdo) que $$ \sqrt{2} $$ no puede escribirse como una fracción de enteros, es decir, es irracional. Al dividir una cantidad irracional entre un número entero distinto de cero (en este caso 2), el cociente sigue siendo irracional. Es por ello que $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es irracional. --- **(b) En la recta numérica, $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ se encuentra entre los dos números enteros 0 y 1** Sabemos que el cuadrado de $$ \sqrt{2} $$ es 2 y, por tanto, $$ \sqrt{2}<2. $$ Dividiendo esta desigualdad por 2 obtenemos $$ \frac{\sqrt{2}}{2}<1. $$ Además, claramente $$ \frac{\sqrt{2}}{2}>0 $$ ya que es un cociente de dos números positivos. Así, $$ 0<\frac{\sqrt{2}}{2}<1. $$ Geométricamente, imagina la recta numérica donde se marca 0 y 1. Si se construye una proporción utilizando la diagonal de un cuadrado de lado 1, la mitad de esa diagonal es $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ y se ubica entre 0 y 1. --- **(c) $$ 1+\frac{\sqrt{2}}{2} $$ es un número irracional que se encuentra entre 1 y 2** Aunque 1 es un número racional, al sumarlo a un número irracional se obtiene un número irracional. Así, $$ 1+\frac{\sqrt{2}}{2} $$ es irracional. Para ubicarlo en la recta numérica, utilizamos lo visto en (b): $$ 0<\frac{\sqrt{2}}{2}<1. $$ Al sumar 1 a cada parte de la desigualdad, se obtiene $$ 1<1+\frac{\sqrt{2}}{2}<2. $$ Geométricamente, partiendo del 1 en la recta, se añade una distancia que es menor que la unidad y se llega a un punto comprendido entre 1 y 2. --- Cada afirmación se justifica mediante construcciones geométricas clásicas (la relación entre el cuadrado y su diagonal) y utilizando propiedades básicas de la suma y desigualdades en la recta numérica. **Justificación Geométrica de las Afirmaciones:** **(a) $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es un número irracional** - **Explicación:** La diagonal de un cuadrado de lado 1 es $$ \sqrt{2} $$, que es irracional. Dividiendo $$ \sqrt{2} $$ por 2, el resultado $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ también es irracional. **(b) $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ está entre 0 y 1 en la recta numérica** - **Explicación:** Como $$ \sqrt{2} < 2 $$, entonces $$ \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 $$. Además, $$ \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $$, por lo que se encuentra entre 0 y 1. **(c) $$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es un número irracional entre 1 y 2** - **Explicación:** Sumando 1 a un número irracional ( $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ ), el resultado $$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es irracional. Geométricamente, esto se ubica entre 1 y 2 en la recta numérica. **Resumen:** - $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es irracional y está entre 0 y 1. - $$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $$ es irracional y está entre 1 y 2.

2 Justica geomévicamente las siguerves atimaciones:
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b. Enla recte numérica, se encuentra - entre los nui menos enteros 0y 1 .
c. es un numerd macional ques encuerne entre 1 y 2