Resuelva el siguiente PVI. \[ y^{\prime \prime \prime}+(-3) y^{\prime \prime}+(-24) y^{\prime}+(80) y=0, \quad y(0)=3, y^{\prime}(0)=2, y^{\prime \prime}(0)=3 \] - Escriba la ecuación característica en función de \( r \) : - Indique las raíces de la ecuación característica (Ejemplo de escritura: \( \left.\left\{r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}\right\}\right) \) : \[ \square \] - Indique las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial (Ejemplo de escritura: \( \left\{y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right\} \) sin las constantes): - Indique los valores de las constantes del PVI (Ejemplo de escritura: \( \left\{C_{1}, C_{2}, \ldots C_{n}\right\} \) ):

Para resolver el problema planteado, primero debemos establecer la ecuación característica asociada: 1. La ecuación característica en función de \( r \) es: \[ r^{3} - 3r^{2} - 24r + 80 = 0 \] 2. Indicamos las raíces de la ecuación característica: \[ \left\{r_{1}, r_{2}, r_{3}\right\} = \left\{8, -5, 1\right\} \] 3. Las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial son: \[ \left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\} = \left\{e^{8x}, e^{-5x}, e^{x}\right\} \] 4. Para encontrar los valores de las constantes del PVI, resolvemos el sistema de ecuaciones: - Usamos las condiciones iniciales \( y(0) = 3 \), \( y'(0) = 2 \), \( y''(0) = 3 \): \[ \left\{C_{1}, C_{2}, C_{3}\right\} = \left\{ \frac{34}{15}, -3, -\frac{53}{15} \right\} \]