Найдите сумму всех цельх решений совокушности неравенств \( \left[\begin{array}{l}x^{2}-2 x-8 \leq 0, \\ x^{2}-6 x-7>0\end{array}\right. \) на промежутке \( [-12 ; 9] \).

Разложим первое неравенство \( x^2 - 2x - 8 \leq 0 \) на множители. Находим корни: \[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0 \] Корни: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \). Теперь определим знак данного произведения. Для этого исследуем промежутки: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 4) \), \( (4, \infty) \): - На интервале \( (-\infty, -2) \): выбираем \( x = -3 \): \((-3 - 4)(-3 + 2) = (-7)(-1) > 0\) - На интервале \( (-2, 4) \): выбираем \( x = 0 \): \((0 - 4)(0 + 2) = (-4)(2) < 0\) - На интервале \( (4, \infty) \): выбираем \( x = 5 \): \((5 - 4)(5 + 2) = (1)(7) > 0\) Таким образом, первое неравенство выполняется для \( -2 \leq x \leq 4 \). Теперь рассмотрим второе неравенство \( x^2 - 6x - 7 > 0 \). Найдём корни: \[ x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) = 0 \] Корни: \( x_1 = 7 \), \( x_2 = -1 \). Исследуем знак произведения для промежутков \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 7) \), \( (7, \infty) \): - На интервале \( (-\infty, -1) \): выбираем \( x = -2 \): \((-2 - 7)(-2 + 1) = (-9)(-1) > 0\) - На интервале \( (-1, 7) \): выбираем \( x = 0 \): \((0 - 7)(0 + 1) = (-7)(1) < 0\) - На интервале \( (7, \infty) \): выбираем \( x = 8 \): \((8 - 7)(8 + 1) = (1)(9) > 0\) Таким образом, второе неравенство выполняется для \( x < -1 \) и \( x > 7 \). Теперь найдем пересечение этих решений в интервале \( [-12, 9] \): 1. Для первого неравенства: \( x \in [-2, 4] \) 2. Для второго неравенства: \( x < -1 \) или \( x > 7 \) Из этих условий, пересечения дает: - На интервале \( [-12, -1) \) как пересечение с \( [-2, 4] \): то есть \( [-2, -1) \) - На интервале \( (7, 9] \): то есть \( (7, 9]\) Таким образом, целые решения: \( -2, -1, 8, 9 \). Теперь находим их сумму: \[ -2 + 8 + 9 = 15 \] Ответ: \( 15 \).