Un cono de altura $$ h $$ está inscrito en un cono de mayor tamaño con altura $$ H $$, de manera que su vértice está en el centro de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interior tiene volumen máximo cuando $$ h=\frac{1}{3} H $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para demostrar que el volumen del cono interior inscrito alcanza su máximo cuando $$ h = \frac{1}{3} H $$, sigamos los siguientes pasos:

### 1. **Descripción del Problema**

- **Cono grande**: Altura $$ H $$ y radio de base $$ R $$.
- **Cono pequeño inscrito**: Altura $$ h $$ y radio de base $$ r $$, con su vértice ubicado en el centro de la base del cono grande.

### 2. **Relación entre los Radios**

Debido a que los dos conos son similares, la relación entre sus radios es proporcional a sus alturas. Consideremos un sistema de coordenadas donde el vértice del cono grande está en el origen $$ (0) $$ y su base en $$ y = H $$.

La relación entre el radio $$ r $$ del cono pequeño y su altura $$ h $$ se puede establecer mediante la proporcionalidad de los conos:

$$
\frac{r}{R} = \frac{H - h}{H}
$$

Por lo tanto,

$$
r = R \left(1 - \frac{h}{H}\right)
$$

### 3. **Expresión del Volumen del Cono Pequeño**

El volumen $$ V $$ de un cono está dado por:

$$
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
$$

Sustituyendo $$ r $$ de la relación anterior:

$$
V = \frac{1}{3} \pi \left(R \left(1 - \frac{h}{H}\right)\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 h \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2
$$

### 4. **Maximización del Volumen**

Para encontrar el valor de $$ h $$ que maximiza el volumen $$ V $$, derivamos $$ V $$ respecto a $$ h $$ y igualamos a cero:

$$
V(h) = \frac{1}{3} \pi R^2 h \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2
$$

Derivando respecto a $$ h $$:

$$
\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 + \frac{1}{3} \pi R^2 h \cdot 2 \left(1 - \frac{h}{H}\right) \left(-\frac{1}{H}\right)
$$

Simplificando:

$$
\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right) \left[ \left(1 - \frac{h}{H}\right) - \frac{2h}{H} \right]
$$

$$
\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right) \left(1 - \frac{3h}{H}\right)
$$

Para encontrar los puntos críticos:

$$
\frac{dV}{dh} = 0 \implies \left(1 - \frac{h}{H}\right) \left(1 - \frac{3h}{H}\right) = 0
$$

Esto nos da dos soluciones:

1. $$ 1 - \frac{h}{H} = 0 \implies h = H $$  
   (Este caso corresponde al cono pequeño coincidiendo con el cono grande, lo cual no es práctico para la inscripción.)

2. $$ 1 - \frac{3h}{H} = 0 \implies h = \frac{H}{3} $$

### 5. **Conclusión**

El volumen del cono pequeño alcanza su máximo cuando su altura es un tercio de la altura del cono grande, es decir:

$$
h = \frac{1}{3} H
$$

Esto completa la demostración.
El cono interior tiene volumen máximo cuando $$ h = \frac{1}{3} H $$.

Un cono de altura está inscrito en un cono de mayor tamaño
con altura , de manera que su vértice está en el centro de la
base del cono más grande. Demuestre que el cono interior tiene
volumen máximo cuando .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Un cono de altura está inscrito en un cono de mayor tamaño con altura , de manera que su vértice está en el centro de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interior tiene volumen máximo cuando .