Jorge, Sara y Sofía deciden comprar despensas para los afectados por el COVID 19,
Jorge tiene 12,060 pesos, Sara 7,740 pesos y Sofía 2,700 pesos. ¿Cuál es el precio máximo de la despensa que pueden comprar para que a ninguno le sobre dinero?
¿Cuántas despensas compraran cada uno de ellos?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideramos que el precio de la despensa debe dividir exactamente el dinero con el que cuenta cada persona, de tal forma que a ninguno le sobre dinero. Esto significa que el precio de la despensa debe ser un divisor común de las cantidades:

- Jorge tiene $$12060$$ pesos.
- Sara tiene $$7740$$ pesos.
- Sofía tiene $$2700$$ pesos.

El precio máximo posible será el máximo común divisor (MCD) de estos tres números.

**Paso 1: Calcular el MCD de $$12060$$ y $$7740$$.**

Utilizando el algoritmo de Euclides:

1. $$\gcd(12060, 7740)$$:  
   Restamos $$12060 - 7740 = 4320$$ (aunque se puede aplicar directamente el proceso de divisiones, veremos con restos).  
   Dividimos:
   $$
   12060 \div 7740 = 1 \quad \text{resto } 4320.
   $$
   Así, $$\gcd(12060, 7740) = \gcd(7740, 4320)$$.

2. $$\gcd(7740, 4320)$$:  
   $$
   7740 \div 4320 = 1 \quad \text{resto } 7740 - 4320 = 3420.
   $$
   Entonces, $$\gcd(7740, 4320) = \gcd(4320, 3420)$$.

3. $$\gcd(4320, 3420)$$:  
   $$
   4320 \div 3420 = 1 \quad \text{resto } 4320 - 3420 = 900.
   $$
   Así, $$\gcd(4320, 3420) = \gcd(3420, 900)$$.

4. $$\gcd(3420, 900)$$:  
   $$
   3420 \div 900 = 3 \quad \text{resto } 3420 - 3 \times 900 = 3420 - 2700 = 720.
   $$
   Luego, $$\gcd(3420, 900) = \gcd(900, 720)$$.

5. $$\gcd(900, 720)$$:  
   $$
   900 \div 720 = 1 \quad \text{resto } 900 - 720 = 180.
   $$
   Por lo que, $$\gcd(900, 720) = \gcd(720, 180)$$.

6. $$\gcd(720, 180)$$:  
   Se observa que $$180$$ divide a $$720$$ ya que $$720 \div 180 = 4$$ sin residuo.  
   Así, $$\gcd(720, 180) = 180$$.

Por lo tanto, $$\gcd(12060, 7740) = 180$$.

**Paso 2: Incorporar el tercer número, $$2700$$.**

Calculamos:
$$
\gcd(180, 2700).
$$
Dado que $$2700 \div 180 = 15$$ sin residuo, se cumple que $$\gcd(180, 2700) = 180$$.

**Conclusión sobre el precio:**

El precio máximo de la despensa es $$ \boxed{180} $$ pesos.

**Paso 3: Calcular el número de despensas que compra cada uno.**

- Jorge:  
  $$
  \frac{12060}{180} = 67.
  $$
- Sara:  
  $$
  \frac{7740}{180} = 43.
  $$
- Sofía:  
  $$
  \frac{2700}{180} = 15.
  $$

**Respuesta:**

- Precio máximo de la despensa: $$180$$ pesos.  
- Despensas que comprará Jorge: $$67$$.  
- Despensas que comprará Sara: $$43$$.  
- Despensas que comprará Sofía: $$15$$.
El precio máximo de la despensa es 180 pesos. Jorge comprará 67 despensas, Sara 43 y Sofía 15.

Jorge, Sara y Sofía deciden comprar despensas para los afectados por el COVID 19,
Jorge tiene 12,060 pesos, Sara 7,740 pesos y Sofía 2,700 pesos. ¿Cuál es el precio máximo de la despensa que pueden comprar para que a ninguno le sobre dinero?
¿Cuántas despensas compraran cada uno de ellos?

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