$$ 2^{\circ} $$ Résoudre $$ : \frac{(25)^{n^{2}}}{125^{n}}=5^{n} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre l'équation $$ \frac{(25)^{n^{2}}}{125^{n}}=5^{n} $$, nous allons d'abord exprimer tous les termes en fonction de la base $$ 5 $$.

Nous savons que :
- $$ 25 = 5^2 $$ donc $$ 25^{n^2} = (5^2)^{n^2} = 5^{2n^2} $$
- $$ 125 = 5^3 $$ donc $$ 125^{n} = (5^3)^{n} = 5^{3n} $$

En remplaçant dans l'équation, nous avons :

$$
\frac{5^{2n^2}}{5^{3n}} = 5^{n}
$$

En utilisant la propriété des puissances $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$, nous pouvons simplifier le côté gauche :

$$
5^{2n^2 - 3n} = 5^{n}
$$

Puisque les bases sont les mêmes, nous pouvons égaler les exposants :

$$
2n^2 - 3n = n
$$

En réarrangeant l'équation, nous obtenons :

$$
2n^2 - 3n - n = 0
$$

Ce qui se simplifie en :

$$
2n^2 - 4n = 0
$$

Nous pouvons factoriser cette équation :

$$
2n(n - 2) = 0
$$

Cela nous donne deux solutions :

1. $$ 2n = 0 $$ donc $$ n = 0 $$
2. $$ n - 2 = 0 $$ donc $$ n = 2 $$

Les solutions de l'équation $$ \frac{(25)^{n^{2}}}{125^{n}}=5^{n} $$ sont donc :

$$
n = 0 \quad \text{et} \quad n = 2
$$
Les solutions de l'équation sont $$ n = 0 $$ et $$ n = 2 $$.

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