El profesor en su clase realiza el calculo de la integral \( \int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x \) y obtiene como respuesta \( +\infty \), luego deja como ejercicio resolver la integral \( \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \). Elena dice que es trivial la respuesta porque si la primera dio infinito por ser una área que se extiende infini- tamente a lo largo de la asíntota \( x=0 \), entonces la segunda con asíntota también en cero daría igual, es decir, \( +\infty \). De acuerdo a lo anterior, usted opina que a) Elena tiene razón pues la segunda integral esti- ma un área que tambien se extiende al infinito como la primera. b) Elena está errada porque la segunda integral da como resultado aproximadamente 3.5 . c) Elena está errada pues no siempre es así. d) Elena tiene la razón puesto que ningún núme- ro cumpliría con las condiciones del problema, menos uno tan pequeño como 3.5 .

La afirmación de Elena es incorrecta. Aunque ambas integrales tienen una asíntota en \( x=0 \), su comportamiento alrededor de este punto es diferente. 1. **Primera Integral:** \[ \int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{3} - \left( -\infty \right) = +\infty \] Aquí, la integral diverge a infinito porque la función \( \frac{1}{x^2} \) crece suficientemente rápido cerca de \( x=0 \) para que el área bajo la curva se extienda indefinidamente. 2. **Segunda Integral:** \[ \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{0}^{3} = 2\sqrt{3} - 0 \approx 3.464 \] En este caso, la integral converge a un valor finito (aproximadamente 3.5) porque la función \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) no crece lo suficientemente rápido como para que el área bajo la curva sea infinita. Por lo tanto, la afirmación de Elena es errónea en este contexto específico. **Respuesta correcta:** b) Elena está errada porque la segunda integral da como resultado aproximadamente 3.5.