El profesor en su clase realiza el calculo de la integral
y obtiene como respuesta , luego deja
como ejercicio resolver la integral . Elena
dice que es trivial la respuesta porque si la primera
dio infinito por ser una área que se extiende infini-
tamente a lo largo de la asíntota , entonces la
segunda con asíntota también en cero daría igual, es
decir, . De acuerdo a lo anterior, usted opina que
a) Elena tiene razón pues la segunda integral esti-
ma un área que tambien se extiende al infinito
como la primera.
b) Elena está errada porque la segunda integral da
como resultado aproximadamente 3.5 .
c) Elena está errada pues no siempre es así.
d) Elena tiene la razón puesto que ningún núme-
ro cumpliría con las condiciones del problema,
menos uno tan pequeño como 3.5 .

Ask by Lewis Valdez. in Colombia

Jan 24,2025

Question

El profesor en su clase realiza el calculo de la integral
y obtiene como respuesta , luego deja
como ejercicio resolver la integral . Elena
dice que es trivial la respuesta porque si la primera
dio infinito por ser una área que se extiende infini-
tamente a lo largo de la asíntota , entonces la
segunda con asíntota también en cero daría igual, es
decir, . De acuerdo a lo anterior, usted opina que
a) Elena tiene razón pues la segunda integral esti-
ma un área que tambien se extiende al infinito
como la primera.
b) Elena está errada porque la segunda integral da
como resultado aproximadamente 3.5 .
c) Elena está errada pues no siempre es así.
d) Elena tiene la razón puesto que ningún núme-
ro cumpliría con las condiciones del problema,
menos uno tan pequeño como 3.5 .

Ask by Lewis Valdez. in Colombia

Jan 24,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

La afirmación de Elena es incorrecta. Aunque ambas integrales tienen una asíntota en $$ x=0 $$, su comportamiento alrededor de este punto es diferente.

1. **Primera Integral:**
   $$
   \int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{3} - \left( -\infty \right) = +\infty
   $$
   Aquí, la integral diverge a infinito porque la función $$ \frac{1}{x^2} $$ crece suficientemente rápido cerca de $$ x=0 $$ para que el área bajo la curva se extienda indefinidamente.

2. **Segunda Integral:**
   $$
   \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{0}^{3} = 2\sqrt{3} - 0 \approx 3.464
   $$
   En este caso, la integral converge a un valor finito (aproximadamente 3.5) porque la función $$ \frac{1}{\sqrt{x}} $$ no crece lo suficientemente rápido como para que el área bajo la curva sea infinita.

Por lo tanto, la afirmación de Elena es errónea en este contexto específico.

**Respuesta correcta:**

b) Elena está errada porque la segunda integral da como resultado aproximadamente 3.5.
La segunda integral no da infinito, sino que es aproximadamente 3.5.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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