5) Si consideri un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite. Si denotino con A e $$ A^{\prime} $$, rispettivamente, la sua matrice incompleta e la sua matrice completa. Allora: il sistema ammette sempre almeno una soluzione. il sistema ammette $$ \infty^{1} $$ soluzioni se $$ r(A)=2 $$. il sistema ammette $$ \infty^{1} $$ soluzioni se $$ r\left(A^{\prime}\right)=2 $$. il sistema può non ammettere soluzioni.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos a analizar cada una de las afirmaciones proporcionadas para determinar cuáles son correctas en el contexto de un sistema lineal no homogéneo de 3 ecuaciones en 3 incógnitas.

**1. El sistema siempre admite al menos una solución.**

Esta afirmación **es incorrecta**. Un sistema lineal no homogéneo no garantiza siempre al menos una solución. La existencia de soluciones depende de la relación entre el rango de la matriz de coeficientes $$ A $$ y el rango de la matriz aumentada $$ A' $$. Si $$ r(A) 
eq r(A') $$, el sistema no tendrá soluciones.

**2. El sistema admite infinitas soluciones si $$ r(A) = 2 $$.**

Esta afirmación **es correcta** siempre que el rango de la matriz aumentada $$ r(A') $$ también sea igual a 2. Dado que el sistema es no homogéneo y $$ r(A) = r(A') = 2 $$, hay una dimensión libre, lo que implica infinitas soluciones.

**3. El sistema admite infinitas soluciones si $$ r(A') = 2 $$.**

Esta afirmación **es correcta**. Si $$ r(A') = 2 $$, entonces necesariamente $$ r(A) $$ también debe ser 2 (ya que $$ r(A) \leq r(A') $$). Por lo tanto, el sistema tiene dos ecuaciones independientes y una incógnita libre, resultando en infinitas soluciones.

**4. El sistema puede no admitir soluciones.**

Esta afirmación **es correcta**. Si $$ r(A) 
eq r(A') $$, el sistema no tendrá soluciones, lo que lo hace inconsistente.

**Resumen:**
- **Incorrecta:** La primera afirmación.
- **Correctas:** La segunda, tercera y cuarta afirmaciones.

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**Respuesta Final:**

Las afirmaciones 2, 3 y 4 son correctas.
Las afirmaciones 2, 3 y 4 son correctas.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

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