5) Si consideri un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite. Si denotino con A e \( A^{\prime} \), rispettivamente, la sua matrice incompleta e la sua matrice completa. Allora: il sistema ammette sempre almeno una soluzione. il sistema ammette \( \infty^{1} \) soluzioni se \( r(A)=2 \). il sistema ammette \( \infty^{1} \) soluzioni se \( r\left(A^{\prime}\right)=2 \). il sistema può non ammettere soluzioni.

Vamos a analizar cada una de las afirmaciones proporcionadas para determinar cuáles son correctas en el contexto de un sistema lineal no homogéneo de 3 ecuaciones en 3 incógnitas. **1. El sistema siempre admite al menos una solución.** Esta afirmación **es incorrecta**. Un sistema lineal no homogéneo no garantiza siempre al menos una solución. La existencia de soluciones depende de la relación entre el rango de la matriz de coeficientes \( A \) y el rango de la matriz aumentada \( A' \). Si \( r(A) \neq r(A') \), el sistema no tendrá soluciones. **2. El sistema admite infinitas soluciones si \( r(A) = 2 \).** Esta afirmación **es correcta** siempre que el rango de la matriz aumentada \( r(A') \) también sea igual a 2. Dado que el sistema es no homogéneo y \( r(A) = r(A') = 2 \), hay una dimensión libre, lo que implica infinitas soluciones. **3. El sistema admite infinitas soluciones si \( r(A') = 2 \).** Esta afirmación **es correcta**. Si \( r(A') = 2 \), entonces necesariamente \( r(A) \) también debe ser 2 (ya que \( r(A) \leq r(A') \)). Por lo tanto, el sistema tiene dos ecuaciones independientes y una incógnita libre, resultando en infinitas soluciones. **4. El sistema puede no admitir soluciones.** Esta afirmación **es correcta**. Si \( r(A) \neq r(A') \), el sistema no tendrá soluciones, lo que lo hace inconsistente. **Resumen:** - **Incorrecta:** La primera afirmación. - **Correctas:** La segunda, tercera y cuarta afirmaciones. --- **Respuesta Final:** Las afirmaciones 2, 3 y 4 son correctas.