$$ e ^ { x } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { k } } { k ! } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

La ecuación que has proporcionado es la serie de Taylor para la función exponencial $$ e^x $$. Esta serie se puede expresar como:

$$
e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}
$$

Esto significa que la función exponencial $$ e^x $$ se puede aproximar sumando los términos de la serie infinita, donde cada término está dado por $$ \frac{x^k}{k!} $$. Aquí, $$ k! $$ (factorial de $$ k $$) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta $$ k $$, y se define como $$ 1 $$ para $$ k = 0 $$.

### Explicación paso a paso:

1. **Término general**: El término general de la serie es $$ \frac{x^k}{k!} $$. Esto significa que para cada valor de $$ k $$, elevamos $$ x $$ a la potencia $$ k $$ y lo dividimos por el factorial de $$ k $$.

2. **Suma infinita**: La notación $$ \sum_{k=0}^{\infty} $$ indica que estamos sumando todos los términos desde $$ k = 0 $$ hasta el infinito. Esto implica que la serie tiene un número infinito de términos.

3. **Convergencia**: La serie converge para todos los valores de $$ x $$, lo que significa que si sumamos suficientes términos, obtendremos un valor que se aproxima a $$ e^x $$.

4. **Ejemplo**: Si tomamos $$ x = 1 $$, la serie se convierte en:

$$
e^1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1^k}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \ldots
$$

Al sumar estos términos, nos aproximamos al valor de $$ e $$ (aproximadamente 2.71828).

### Conclusión:

La serie de Taylor para $$ e^x $$ es una herramienta poderosa en matemáticas y se utiliza en diversas aplicaciones, incluyendo cálculo, análisis y teoría de probabilidades.
La serie de Taylor para $$ e^x $$ es: $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots $$ Esto significa que $$ e^x $$ se puede aproximar sumando términos de la forma $$ \frac{x^k}{k!} $$ para $$ k $$ desde 0 hasta el infinito.

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