Para el polinomio a continuación, -1 es un cero.

Expresar como un producto de factores lineales.

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Mar 31,2025

Question

Para el polinomio a continuación, -1 es un cero. $$ h(x)=x^{3}-3 x^{2}-7 x-3 $$ Expresar $$ h(x) $$ como un producto de factores lineales. $$ h(x)=\square $$

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Dado que $$-1$$ es cero de $$ h(x)=x^{3}-3x^{2}-7x-3 $$, podemos dividir $$ h(x) $$ entre $$(x+1)$$.

1. Realizamos la división sintética con los coeficientes del polinomio: $$1,\,-3,\,-7,\,-3$$.

- Se escribe $$-1$$ a la izquierda.
   - Bajamos el $$1$$.
   - Multiplicamos: $$1 \times (-1) = -1$$; sumamos a $$-3$$: $$-3 + (-1) = -4$$.
   - Multiplicamos: $$-4 \times (-1) = 4$$; sumamos a $$-7$$: $$-7 + 4 = -3$$.
   - Multiplicamos: $$-3 \times (-1) = 3$$; sumamos a $$-3$$: $$-3 + 3 = 0$$.

Esto confirma que $$(x+1)$$ es un factor y el polinomio se factoriza como:
   $$
   h(x)=(x+1)(x^2-4x-3)
   $$

2. Ahora factorizamos el trinomio $$x^2-4x-3$$ encontrando sus raíces con la fórmula cuadrática:
   $$
   x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
   $$
   donde $$a=1$$, $$b=-4$$, y $$c=-3$$.

Se tiene:
   $$
   x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}
   $$
   Como $$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$$, se simplifica a:
   $$
   x=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{2}=2\pm\sqrt{7}
   $$

3. Por lo tanto, el trinomio se puede escribir como:
   $$
   x^2-4x-3=(x-(2+\sqrt{7}))(x-(2-\sqrt{7}))
   $$

4. Finalmente, la factorización completa de $$ h(x) $$ es:
   $$
   h(x)=(x+1)(x-(2+\sqrt{7}))(x-(2-\sqrt{7}))
   $$
$$ h(x) = (x + 1)(x - (2 + \sqrt{7}))(x - (2 - \sqrt{7})) $$

Para el polinomio a continuación, -1 es un cero.

Expresar como un producto de factores lineales.

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