Calcule la valeur moyenne de la fonction sur
lintervalle 1 dans chaque cas
a) et
b) et

Ask by Lee Norris. in Côte d'Ivoire

Mar 28,2025

Question

Calcule la valeur moyenne de la fonction $$ f $$ sur lintervalle 1 dans chaque cas a) $$ I=[2 ; 5] $$ et $$ f(x)=\frac{1}{x+1} $$ b) $$ I=[-1 ; 4] $$ et $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Soit la valeur moyenne de la fonction $$ f $$ sur un intervalle $$ I=[a,b] $$ donnée par la formule
$$
\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx.
$$

### a) Pour $$ I=[2,5] $$ et $$ f(x)=\frac{1}{x+1} $$

1. La longueur de l’intervalle est
   $$
   5 - 2 = 3.
   $$

2. Calculons l'intégrale
   $$
   \int_{2}^{5} \frac{1}{x+1}\, dx.
   $$
   Posons $$ u = x+1 $$ alors $$ du = dx $$.  
   Lorsque $$ x = 2 $$, on a $$ u = 3 $$ et lorsque $$ x = 5 $$, $$ u = 6 $$.

3. L’intégrale devient
   $$
   \int_{3}^{6} \frac{1}{u}\, du = \left[ \ln|u| \right]_{3}^{6} = \ln 6 - \ln 3 = \ln \left(\frac{6}{3}\right) = \ln 2.
   $$

4. La valeur moyenne est donc
   $$
   \bar{f} = \frac{1}{3} \ln 2.
   $$

---

### b) Pour $$ I=[-1,4] $$ et $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$

1. La longueur de l’intervalle est
   $$
   4 - (-1) = 5.
   $$

2. Calculons l'intégrale
   $$
   \int_{-1}^{4} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \, dx.
   $$
   Posons $$ u = 1+x^2 $$ alors $$ du = 2x\, dx $$, donc $$ x\, dx = \frac{du}{2} $$.  
   Lorsque $$ x = -1 $$, on a $$ u = 1+(-1)^2 = 2 $$ et lorsque $$ x = 4 $$, $$ u = 1+4^2 = 17 $$.

3. L’intégrale se transforme en
   $$
   \int_{2}^{17} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{17} u^{-\frac{1}{2}}\, du.
   $$
   La primitive de $$ u^{-\frac{1}{2}} $$ est
   $$
   \int u^{-\frac{1}{2}}\, du = 2u^{\frac{1}{2}}.
   $$
   Ainsi,
   $$
   \frac{1}{2} \int_{2}^{17} u^{-\frac{1}{2}}\, du = \frac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{17} = \left[ u^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{17} = \sqrt{17} - \sqrt{2}.
   $$

4. La valeur moyenne est donc
   $$
   \bar{f} = \frac{1}{5} (\sqrt{17} - \sqrt{2}).
   $$

---

Les réponses finales sont :

a) $$ \bar{f} = \frac{1}{3} \ln 2 $$  
b) $$ \bar{f} = \frac{1}{5} (\sqrt{17} - \sqrt{2}) $$
a) La valeur moyenne de $$ f(x) = \frac{1}{x+1} $$ sur $$[2,5]$$ est $$ \frac{1}{3} \ln 2 $$. b) La valeur moyenne de $$ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$ sur $$[-1,4]$$ est $$ \frac{1}{5} (\sqrt{17} - \sqrt{2}) $$.

Calcule la valeur moyenne de la fonction sur
lintervalle 1 dans chaque cas
a) et
b) et

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