PROBLEMAS PROPUESTOS. 1. Dada $$ f(x)=5-x^{3} $$. Determina $$ 2 f(-2) $$ 2. Dadas $$ f(x)=3-2 x $$ y $$ g(x)=x+1 $$, Calcular según sea el caso: $$ a) $$. $$ (f-g)(-2) $$ y b). (g o 3. APLICACION. Reflejando la Existencia de una Función, Resuelve. A). En las semanas de cultivo de una planta, que medía 3 cm , se ha observado qui crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en una semana ha pasa medir de 3 cm a 5 cm . Determina: a). ¿Cuál es el modelo matemático para este caso, que dé la altura de la planta en función tiempo? b). Muestre su gráfica. B). El boleto de una función de cine cuesta $$ \$ 50.00 $$. Asi que, a cada persona que asis corresponderá pagar la misma cantidad. Calcular: a). ¿Cuál es el modelo matemático para este caso? b). Diga. ¿A qué clase de función nos estamos refiriendo? c). El dominio de x. d). ¿Cuál es su representación geométrica para 20 personas de entrada?

Question

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Claro, a continuación se resuelven los problemas propuestos paso a paso:

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## **Problema 1**

**Dada $$ f(x) = 5 - x^{3} $$. Determina $$ 2 f(-2) $$.**

### **Solución:**

1. **Calcular $$ f(-2) $$:**

$$
   f(-2) = 5 - (-2)^{3} = 5 - (-8) = 5 + 8 = 13
   $$

2. **Multiplicar por 2:**

$$
   2 \cdot f(-2) = 2 \cdot 13 = 26
   $$

### **Respuesta:**

$$
2 f(-2) = 26
$$

---

## **Problema 2**

**Dadas $$ f(x) = 3 - 2x $$ y $$ g(x) = x + 1 $$, Calcular según sea el caso:**

### **a) $$ (f - g)(-2) $$**

#### **Solución:**

1. **Definir la función $$ (f - g)(x) $$:**

$$
   (f - g)(x) = f(x) - g(x) = (3 - 2x) - (x + 1) = 3 - 2x - x - 1 = 2 - 3x
   $$

2. **Evaluar en $$ x = -2 $$:**

$$
   (f - g)(-2) = 2 - 3(-2) = 2 + 6 = 8
   $$

#### **Respuesta:**

$$
(f - g)(-2) = 8
$$

### **b) $$ (g \circ f)(x) $$**

_Nota: Asumiendo que la segunda parte solicita la composición de funciones $$ g \circ f $$._

#### **Solución:**

1. **Definir la composición $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$:**

$$
   f(x) = 3 - 2x \
   g(f(x)) = g(3 - 2x) = (3 - 2x) + 1 = 4 - 2x
   $$

#### **Respuesta:**

$$
(g \circ f)(x) = 4 - 2x
$$

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## **Problema 3**

### **A) Crecimiento de una Planta**

**En las semanas de cultivo de una planta, que medía 3 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en una semana ha pasado de medir 3 cm a 5 cm. Determina:**

#### **a) ¿Cuál es el modelo matemático para este caso, que dé la altura de la planta en función del tiempo?**

##### **Solución:**

1. **Identificar que el crecimiento es directamente proporcional al tiempo:**

$$
   \text{Crecimiento} = k \cdot t
   $$

Donde:
   - $$ k $$ es la constante de proporcionalidad.
   - $$ t $$ es el tiempo en semanas.

2. **Dado que inicialmente la planta mide 3 cm y crece a 5 cm en 1 semana, podemos establecer:**

$$
   h(t) = 3 \text{ cm} + k \cdot t
   $$

3. **Calcular la constante $$ k $$:**

$$
   h(1) = 5 \text{ cm} \
   5 = 3 + k \cdot 1 \
   k = 5 - 3 = 2 \text{ cm/semana}
   $$

4. **Modelo matemático:**

$$
   h(t) = 3 + 2t
   $$

#### **Respuesta:**

$$
h(t) = 3 + 2t \quad \text{(donde } h(t) \text{ es la altura en cm y } t \text{ el tiempo en semanas)}
$$

#### **b) Muestre su gráfica.**

##### **Solución:**

Para graficar la función $$ h(t) = 3 + 2t $$:

1. **Ejes:**
   - Eje horizontal ($$ t $$): Tiempo en semanas.
   - Eje vertical ($$ h(t) $$): Altura de la planta en cm.

2. **Puntos clave:**
   - Cuando $$ t = 0 $$, $$ h(0) = 3 + 2(0) = 3 $$ cm.
   - Cuando $$ t = 1 $$, $$ h(1) = 5 $$ cm.
   - Cuando $$ t = 2 $$, $$ h(2) = 7 $$ cm.
   
3. **Dibujar una línea recta que pase por estos puntos, con pendiente 2 y ordenada al origen 3.**

##### **Representación Gráfica:**

*(Desafortunadamente, no puedo dibujar directamente aquí, pero se puede visualizar una línea recta que comienza en (0,3) y sube con una pendiente de 2.)*

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### **B) Costo de Boletos de Cine**

**El boleto de una función de cine cuesta \$50.00. Así, a cada persona que asiste corresponderá pagar la misma cantidad. Calcular:**

#### **a) ¿Cuál es el modelo matemático para este caso?**

##### **Solución:**

1. **Definir la variable:**
   - $$ x $$: Número de personas.
   - $$ C(x) $$: Costo total en dólares.

2. **Puesto que cada boleto cuesta \$50, el costo total es:**

$$
   C(x) = 50 \cdot x
   $$

#### **Respuesta:**

$$
C(x) = 50x \quad \text{(donde } C(x) \text{ es el costo total en dólares y } x \text{ el número de personas)}
$$

#### **b) ¿A qué clase de función nos estamos refiriendo?**

##### **Respuesta:**

Se trata de una **función lineal** de la forma $$ C(x) = mx + b $$, donde $$ m = 50 $$ es la pendiente que representa el costo por persona, y $$ b = 0 $$ es la ordenada al origen, ya que no hay costo fijo adicional.

#### **c) El dominio de $$ x $$.**

##### **Respuesta:**

El dominio de $$ x $$ está definido por el número de personas que pueden asistir:

$$
x \in \mathbb{N}_0 \quad \text{(números naturales incluyendo el cero)}
$$

Es decir, $$ x $$ puede ser cualquier entero no negativo:

$$
x = 0, 1, 2, 3, \ldots
$$

#### **d) ¿Cuál es su representación geométrica para 20 personas de entrada?**

##### **Solución:**

1. **Calcular el costo para 20 personas:**

$$
   C(20) = 50 \cdot 20 = 1000 \text{ dólares}
   $$

2. **En el plano cartesiano, este punto se representa como:**

$$
   (20, 1000)
   $$

##### **Respuesta:**

El punto $$(20, 1000)$$ en la gráfica de la función $$ C(x) = 50x $$.

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**Resolución de Problemas Propuestos:** 1. **Dada $$ f(x) = 5 - x^{3} $$. Determina $$ 2 f(-2) $$:** $$ 2 f(-2) = 26 $$ 2. **Dadas $$ f(x) = 3 - 2x $$ y $$ g(x) = x + 1 $$:** a. $$ (f - g)(-2) = 8 $$ b. $$ (g \circ f)(x) = 4 - 2x $$ 3. **Crecimiento de una Planta:** a. Modelo matemático: $$ h(t) = 3 + 2t $$ b. Gráfica: Una línea recta que comienza en (0,3) y sube con pendiente 2. 4. **Costo de Boletos de Cine:** a. Modelo matemático: $$ C(x) = 50x $$ b. Clase de función: Función lineal. c. Dominio de $$ x $$: $$ x \in \mathbb{N}_0 $$ (números naturales incluyendo el cero). d. Representación geométrica para 20 personas: Punto $$(20, 1000)$$ en la gráfica de $$ C(x) = 50x $$.

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