$$ \frac { d u } { d t } = e ^ { - 0.12 t } ( B _ { 1 } \cos 11.17 t ) + B _ { 2 } \sin 11.17 t $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la ecuación diferencial:

$$
\frac{du}{dt} = e^{-0.12 t} \left( B_1 \cos(11.17 t) \right) + B_2 \sin(11.17 t)
$$

debemos integrar ambos términos con respecto a $$ t $$ para encontrar $$ u(t) $$.

### Paso 1: Integrar el primer término
$$
\int e^{-0.12 t} B_1 \cos(11.17 t) \, dt
$$

Utilizamos la fórmula de integración para productos de exponenciales y funciones trigonométricas:

$$
\int e^{at} \cos(bt) \, dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \cos(bt) + b \sin(bt)) + C
$$

Aplicando esto al primer término:

$$
\int e^{-0.12 t} \cos(11.17 t) \, dt = \frac{e^{-0.12 t}}{(-0.12)^2 + (11.17)^2} \left( -0.12 \cos(11.17 t) + 11.17 \sin(11.17 t) \right) + C
$$

Calculamos el denominador:

$$
(-0.12)^2 + (11.17)^2 = 0.0144 + 124.7689 = 124.7833
$$

Por lo tanto:

$$
\int e^{-0.12 t} B_1 \cos(11.17 t) \, dt = \frac{B_1 e^{-0.12 t}}{124.7833} \left( -0.12 \cos(11.17 t) + 11.17 \sin(11.17 t) \right) + C_1
$$

### Paso 2: Integrar el segundo término
$$
\int B_2 \sin(11.17 t) \, dt
$$

La integral de una función seno es:

$$
\int \sin(bt) \, dt = -\frac{1}{b} \cos(bt) + C
$$

Aplicando esto:

$$
\int B_2 \sin(11.17 t) \, dt = -\frac{B_2}{11.17} \cos(11.17 t) + C_2
$$

### Paso 3: Combinar los resultados

Sumando las dos integrales obtenidas:

$$
u(t) = \frac{B_1 e^{-0.12 t}}{124.7833} \left( -0.12 \cos(11.17 t) + 11.17 \sin(11.17 t) \right) - \frac{B_2}{11.17} \cos(11.17 t) + C
$$

donde $$ C = C_1 + C_2 $$ es la constante de integración general.

### Resultado Final

$$
u(t) = \frac{B_1 e^{-0.12 t}}{124.7833} \left( -0.12 \cos(11.17 t) + 11.17 \sin(11.17 t) \right) - \frac{B_2}{11.17} \cos(11.17 t) + C
$$

Donde $$ C $$ es una constante de integración.
La solución de la ecuación diferencial es: $$ u(t) = \frac{B_1 e^{-0.12 t}}{124.7833} \left( -0.12 \cos(11.17 t) + 11.17 \sin(11.17 t) \right) - \frac{B_2}{11.17} \cos(11.17 t) + C $$ Donde $$ C $$ es una constante de integración.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions