Apartir de una lamina de $$ 25 imes 10 \mathrm{~cm} $$ fabricar una caja cortando cuadrada en las esquinas y esta contenga el maximo volumen.

Question

Apartir de una lamina de $$ 25 	imes 10 \mathrm{~cm} $$ fabricar una caja cortando cuadrada en las esquinas y esta contenga el maximo volumen.

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Para fabricar una caja a partir de una lámina de $$ 25 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} $$ cortando cuadrados en las esquinas, primero definimos el tamaño del cuadrado que cortaremos en cada esquina como $$ x \, \text{cm} $$.

Después de cortar los cuadrados, las dimensiones de la base de la caja serán:

- Longitud: $$ 25 - 2x $$
- Ancho: $$ 10 - 2x $$
- Altura: $$ x $$

El volumen $$ V $$ de la caja se puede expresar como:

$$
V = \text{longitud} \times \text{ancho} \times \text{altura} = (25 - 2x)(10 - 2x)(x)
$$

Ahora, expandimos esta expresión:

$$
V = (25 - 2x)(10 - 2x)x
$$

Primero, multiplicamos los dos primeros términos:

$$
(25 - 2x)(10 - 2x) = 250 - 50x - 20x + 4x^2 = 250 - 70x + 4x^2
$$

Ahora, multiplicamos por $$ x $$:

$$
V = (250 - 70x + 4x^2)x = 250x - 70x^2 + 4x^3
$$

Por lo tanto, la función del volumen es:

$$
V(x) = 4x^3 - 70x^2 + 250x
$$

Para encontrar el valor de $$ x $$ que maximiza el volumen, derivamos $$ V(x) $$ y igualamos a cero:

$$
V'(x) = 12x^2 - 140x + 250
$$

Igualamos la derivada a cero:

$$
12x^2 - 140x + 250 = 0
$$

Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos entre 2:

$$
6x^2 - 70x + 125 = 0
$$

Ahora aplicamos la fórmula cuadrática:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{70 \pm \sqrt{(-70)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 125}}{2 \cdot 6}
$$

Calculamos el discriminante:

$$
b^2 - 4ac = 4900 - 3000 = 1900
$$

Ahora sustituimos en la fórmula:

$$
x = \frac{70 \pm \sqrt{1900}}{12}
$$

Calculamos $$ \sqrt{1900} $$:

$$
\sqrt{1900} \approx 43.588
$$

Por lo tanto:

$$
x = \frac{70 \pm 43.588}{12}
$$

Calculamos las dos soluciones:

1. $$ x_1 = \frac{70 + 43.588}{12} \approx 9.57 $$
2. $$ x_2 = \frac{70 - 43.588}{12} \approx 2.19 $$

Dado que $$ x $$ debe ser menor que $$ 5 $$ (ya que $$ 10 - 2x > 0 $$), solo consideramos $$ x \approx 2.19 \, \text{cm} $$.

Finalmente, para verificar que este valor maximiza el volumen, podemos evaluar la segunda derivada:

$$
V''(x) = 24x - 140
$$

Evaluamos en $$ x \approx 2.19 $$:

$$
V''(2.19) = 24(2.19) - 140 \approx 52.56 - 140 < 0
$$

Esto indica que tenemos un máximo en $$ x \approx 2.19 \, \text{cm} $$.

Por lo tanto, para obtener el máximo volumen de la caja, se deben cortar cuadrados de aproximadamente $$ 2.19 \, \text{cm} $$ en cada esquina.
Para obtener el máximo volumen de la caja, corta cuadrados de aproximadamente $$ 2.19 \, \text{cm} $$ en cada esquina de la lámina.

Apartir de una lamina de \( 25 \times 10 \mathrm{~cm} \) fabricar una caja cortando cuadrada en las esquinas y esta contenga el maximo volumen.

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