1- $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)} \cdot d x $$, que vaut son intigrole definie?

Question

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Pour évaluer l'intégrale définie suivante :

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \, dx
$$

**Étape 1 : Substitution**

Posons $$ u = \cos(x) $$. Alors, la dérivée de $$ u $$ par rapport à $$ x $$ est :

$$
du = -\sin(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad \sin(x) \, dx = -du
$$

**Étape 2 : Changement de bornes d'intégration**

Lorsque $$ x = 0 $$, $$ u = \cos(0) = 1 $$.

Lorsque $$ x = \frac{\pi}{2} $$, $$ u = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$.

**Étape 3 : Réécriture de l'intégrale**

L'intégrale devient :

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \, dx = \int_{1}^{0} \frac{-du}{u^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{du}{u^{2}}
$$

**Étape 4 : Calcul de l'intégrale**

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2}} \, du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - \left( -\frac{1}{0} \right)
$$

Le terme $$\frac{1}{0}$$ tend vers $$+\infty$$. Ainsi :

$$
-1 + \infty = +\infty
$$

**Conclusion**

L'intégrale définie diverge vers l'infini. Donc,

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \, dx = +\infty
$$
L'intégrale définie vaut $$ +\infty $$.

1- , que vaut son intigrole definie?