$$ [ f ^ { \prime } ( x ) = \ln ( x ^ { 2 } + 1 ) + \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 } ] $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per trovare la funzione $$ f(x) $$ data la sua derivata $$ f'(x) $$, dobbiamo integrare $$ f'(x) $$.

La derivata è:
$$
f'(x) = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}
$$

Possiamo semplificare il termine frazionario:
$$
\frac{2x^2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}
$$
Quindi:
$$
f'(x) = \ln(x^2 + 1) + 2 - \frac{2}{x^2 + 1}
$$

Ora integriamo termine per termine:
$$
f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \ln(x^2 + 1) \, dx + \int 2 \, dx - \int \frac{2}{x^2 + 1} \, dx
$$

Calcoliamo ciascuna integrale:

1. **Integrale di $$ \ln(x^2 + 1) $$:**
   Utilizziamo l'integrazione per parti, scegliendo $$ u = \ln(x^2 + 1) $$ e $$ dv = dx $$. Dopo i calcoli otteniamo:
   $$
   \int \ln(x^2 + 1) \, dx = x \ln(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C_1
   $$

2. **Integrale di $$ 2 $$:**
   $$
   \int 2 \, dx = 2x + C_2
   $$

3. **Integrale di $$ \frac{2}{x^2 + 1} $$:**
   $$
   \int \frac{2}{x^2 + 1} \, dx = 2 \arctan(x) + C_3
   $$

Combinando tutti i risultati:
$$
f(x) = x \ln(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + 2x - 2 \arctan(x) + C
$$
Dove $$ C = C_1 + C_2 - C_3 $$ è la costante di integrazione.

Semplificando, otteniamo:
$$
f(x) = x \ln(x^2 + 1) + C
$$

**Risultato finale:**
$$
f(x) = x \ln(x^2 + 1) + C
$$
dove $$ C $$ è una costante di integrazione.
La funzione $$ f(x) $$ è $$ f(x) = x \ln(x^2 + 1) + C $$, dove $$ C $$ è una costante.

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