Sia data la funzione $$ f(x)=e^{-|x|} $$. È vero che l'insieme delle primitive di $$ f $$ su $$ \mathbb{R} $$ Scegli un'alternativa: non esiste è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}+c_{1} & x

Question

Sia data la funzione $$ f(x)=e^{-|x|} $$. È vero che l'insieme delle primitive di $$ f $$ su $$ \mathbb{R} $$ Scegli un'alternativa: non esiste è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}+c_{1} & x<0 \ -e^{-x}+c_{2} & x \geq 0,\end{array} \quad c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R}ight. $$ è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)=e^{-|x|}+c, c \in \mathbb{R} $$ è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)-\left\{\begin{array}{ll}e^{x}+c & x<0 \ -e^{-x}+2+c & x \geq 0,\end{array} \quad c \in \mathbb{R}ight. $$ è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}+c & x<0 \ -e^{-x}+c & x \geq 0,\end{array} \quad c \in \mathbb{R}ight. $$

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L'insieme delle primitive della funzione $$ f(x) = e^{-|x|} $$ su $$ \mathbb{R} $$ richiede che la primitiva $$ F(x) $$ sia continua in tutto $$ \mathbb{R} $$. Analizziamo le possibilità per $$ x < 0 $$ e $$ x \geq 0 $$:

- **Per $$ x < 0 $$**:
  $$
  F(x) = \int e^{x} \, dx = e^{x} + C_1
  $$

- **Per $$ x \geq 0 $$**:
  $$
  F(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C_2
  $$

Per garantire la continuità in $$ x = 0 $$, dobbiamo porre:
$$
e^{0} + C_1 = -e^{0} + C_2 \implies 1 + C_1 = -1 + C_2 \implies C_2 = C_1 + 2
$$

Quindi, l'insieme delle primitive è dato da:
$$
F(x) = 
\begin{cases} 
e^{x} + C & \text{se } x < 0 \
-e^{-x} + C + 2 & \text{se } x \geq 0 
\end{cases}
$$
dove $$ C \in \mathbb{R} $$.

Questa descrizione corrisponde all'opzione:

**è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}+c & x<0 \ -e^{-x}+2+c & x \geq 0,\end{array} \quad c \in \mathbb{R}\right. $$**

**Risposta corretta:**  
è uguale all'insieme delle funzioni $$ F(x)-\left\{\begin{array}{ll}e^{x}+c & x<0 \ -e^{-x}+2+c & x \geq 0,\end{array} \quad c \in \mathbb{R}\right. $$
L'insieme delle primitive di $$ f(x) = e^{-|x|} $$ su $$ \mathbb{R} $$ è dato da: $$ F(x) = \begin{cases} e^{x} + c & \text{se } x < 0 \ -e^{-x} + c + 2 & \text{se } x \geq 0 \end{cases} $$ dove $$ c $$ è una costante reale.

Sia data la funzione . È vero che l’insieme delle primitive di su
Scegli un’alternativa:
non esiste
è uguale all’insieme delle funzioni
è uguale all’insieme delle funzioni
è uguale all’insieme delle funzioni
è uguale all’insieme delle funzioni

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