11) $$ \begin{aligned} f(x) & = an (\sqrt{x}) \ & =\end{aligned} $$

Question

11) $$ \begin{aligned} f(x) & =	an (\sqrt{x}) \ & =\end{aligned} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la derivada de la función $$ f(x) = \tan(\sqrt{x}) $$, seguiremos los pasos utilizando las reglas de derivación, especialmente la regla de la cadena.

**Paso 1: Identificar las funciones internas y externas**

La función puede descomponerse de la siguiente manera:
- Función externa: $$ \tan(u) $$, donde $$ u = \sqrt{x} $$
- Función interna: $$ u = \sqrt{x} = x^{1/2} $$

**Paso 2: Derivar la función externa respecto a la función interna**

La derivada de $$ \tan(u) $$ respecto a $$ u $$ es:
$$ \frac{d}{du} \tan(u) = \sec^2(u) $$

**Paso 3: Derivar la función interna respecto a $$ x $$**

La derivada de $$ u = x^{1/2} $$ respecto a $$ x $$ es:
$$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

**Paso 4: Aplicar la regla de la cadena**

La derivada total de $$ f(x) $$ respecto a $$ x $$ es:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \tan(\sqrt{x}) = \frac{d}{du} \tan(u) \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

**Resultado Final:**
$$ f'(x) = \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} $$
La derivada de $$ f(x) = \tan(\sqrt{x}) $$ es $$ f'(x) = \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} $$.

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