40 La fonction de satisfaction de Thomas, pour son
travail de recherche, est modélisée par:

où est son temps d’étude en heures par jour.
s’exprime en pourcentage, de 0 à 100 .
(5) 1. a) Soit la parabole représentant la fonction .
Déterminer les points d’intersection de avec
l’axe des abscisses. En déduire l’intervalle de
temps d’étude de Thomas.
(2) b) En déduire le sommet de la parabole .
(3) c) Indiquer l’allure de et dresser le tableau de
variation de la fonction .
2. a) Thomas arrive à saturation, lorsque sa
satisfaction est de 100 .
4) Déterminer au bout de combien de temps de
travail Thomas arrive à saturation.

Ask by Pritchard French. in French Polynesia

Nov 12,2024

Question

40 La fonction de satisfaction de Thomas, pour son
travail de recherche, est modélisée par:

où est son temps d’étude en heures par jour.
s’exprime en pourcentage, de 0 à 100 .
(5) 1. a) Soit la parabole représentant la fonction .
Déterminer les points d’intersection de avec
l’axe des abscisses. En déduire l’intervalle de
temps d’étude de Thomas.
(2) b) En déduire le sommet de la parabole .
(3) c) Indiquer l’allure de et dresser le tableau de
variation de la fonction .
2. a) Thomas arrive à saturation, lorsque sa
satisfaction est de 100 .
4) Déterminer au bout de combien de temps de
travail Thomas arrive à saturation.

Ask by Pritchard French. in French Polynesia

Nov 12,2024

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### 1. a) Points d'intersection avec l'axe des abscisses

Pour déterminer les points d'intersection de la parabole $$ \mathscr{C} $$ avec l'axe des abscisses, nous devons résoudre l'équation $$ S(t) = 0 $$.

$$
-\frac{25}{16} t^{2} + 25 t = 0
$$

Factorisons cette équation :

$$
t \left(-\frac{25}{16} t + 25\right) = 0
$$

Cela nous donne deux solutions :

1. $$ t = 0 $$
2. $$ -\frac{25}{16} t + 25 = 0 $$

Pour la deuxième équation, isolons $$ t $$ :

$$
-\frac{25}{16} t = -25
$$
$$
t = 25 \cdot \frac{16}{25} = 16
$$

Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont donc $$ t = 0 $$ et $$ t = 16 $$.

**Intervalle de temps d'étude de Thomas :**  
Thomas doit étudier dans l'intervalle $$ [0, 16] $$ heures par jour.

### 1. b) Sommet de la parabole

La fonction $$ S(t) $$ est une parabole qui s'ouvre vers le bas (car le coefficient de $$ t^2 $$ est négatif). Le sommet de la parabole se trouve à l'abscisse :

$$
t_s = -\frac{b}{2a}
$$

où $$ a = -\frac{25}{16} $$ et $$ b = 25 $$.

Calculons $$ t_s $$ :

$$
t_s = -\frac{25}{2 \cdot -\frac{25}{16}} = -\frac{25 \cdot 16}{-50} = 8
$$

Pour trouver la satisfaction maximale, calculons $$ S(8) $$ :

$$
S(8) = -\frac{25}{16} \cdot 8^2 + 25 \cdot 8
$$
$$
= -\frac{25}{16} \cdot 64 + 200
$$
$$
= -100 + 200 = 100
$$

Le sommet de la parabole est donc le point $$ (8, 100) $$.

### 1. c) Allure de $$ \mathscr{C} $$ et tableau de variation

La parabole $$ \mathscr{C} $$ a une forme concave vers le bas, avec un maximum au point $$ (8, 100) $$ et des intersections avec l'axe des abscisses aux points $$ (0, 0) $$ et $$ (16, 0) $$.

**Tableau de variation de $$ S(t) $$ :**

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
t & 0 & 8 & 16 \
\hline
S(t) & 0 & 100 & 0 \
\hline
\text{Variation} & \nearrow & \text{max} & \searrow \
\hline
\end{array}
$$

### 2. a) Saturation de Thomas

Thomas arrive à saturation lorsque sa satisfaction est de 100. Nous avons déjà déterminé que cela se produit au sommet de la parabole, c'est-à-dire lorsque $$ t = 8 $$.

### 4) Conclusion

Thomas arrive à saturation au bout de **8 heures de travail** par jour.
Thomas doit étudier dans l'intervalle [0, 16] heures par jour. Le sommet de la parabole est le point (8, 100), avec une satisfaction maximale de 100%. Thomas atteint la saturation au bout de 8 heures de travail par jour.

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