2. Encontrar la inversa de Laplace de la siguiente función: $$ F(s)=\frac{3 s+9}{(s+2)\left(s^{2}+3\right)} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la inversa de Laplace de la función:

$$
F(s) = \frac{3s + 9}{(s + 2)(s^2 + 3)}
$$

seguimos los siguientes pasos:

### 1. Descomposición en Fracciones Parciales

Primero, expresamos $$ F(s) $$ como una suma de fracciones parciales:

$$
\frac{3s + 9}{(s + 2)(s^2 + 3)} = \frac{A}{s + 2} + \frac{Bs + C}{s^2 + 3}
$$

Multiplicamos ambos lados por el denominador común $$(s + 2)(s^2 + 3)$$:

$$
3s + 9 = A(s^2 + 3) + (Bs + C)(s + 2)
$$

Expandiendo y agrupando términos semejantes:

$$
3s + 9 = (A + B)s^2 + (2B + C)s + (3A + 2C)
$$

Igualando los coeficientes de términos semejantes:

$$
\begin{cases}
A + B = 0 \
2B + C = 3 \
3A + 2C = 9
\end{cases}
$$

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

1. De la primera ecuación: $$ A = -B $$.
2. Sustituyendo $$ A = -B $$ en la segunda ecuación: $$ 2B + C = 3 $$ $$\Rightarrow$$ $$ C = 3 - 2B $$.
3. Sustituyendo $$ A = -B $$ y $$ C = 3 - 2B $$ en la tercera ecuación:

$$
3(-B) + 2(3 - 2B) = 9 \
-3B + 6 - 4B = 9 \
-7B = 3 \
B = -\frac{3}{7}
$$

Entonces:

$$
A = \frac{3}{7}, \quad C = 3 - 2\left(-\frac{3}{7}\right) = \frac{27}{7}
$$

Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:

$$
\frac{3s + 9}{(s + 2)(s^2 + 3)} = \frac{\frac{3}{7}}{s + 2} + \frac{-\frac{3}{7}s + \frac{27}{7}}{s^2 + 3}
$$

### 2. Encontrar la Inversa de Laplace

Aplicamos la transformación inversa de Laplace término por término:

1. Para el primer término:

$$
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\frac{3}{7}}{s + 2}\right\} = \frac{3}{7} e^{-2t}
$$

2. Para el segundo término, descomponemos:

$$
\frac{-\frac{3}{7}s + \frac{27}{7}}{s^2 + 3} = -\frac{3}{7} \cdot \frac{s}{s^2 + 3} + \frac{27}{7} \cdot \frac{1}{s^2 + 3}
$$

Aplicando las transformadas inversas:

$$
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{7} \cdot \frac{s}{s^2 + 3}\right\} = -\frac{3}{7} \cos\left(\sqrt{3}\, t\,\right)
$$

$$
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{27}{7} \cdot \frac{1}{s^2 + 3}\right\} = \frac{27}{7 \sqrt{3}} \sin\left(\sqrt{3}\, t\,\right)
$$

### 3. Combinando los Resultados

Finalmente, la inversa de Laplace de $$ F(s) $$ es:

$$
f(t) = \frac{3}{7} e^{-2t} - \frac{3}{7} \cos\left(\sqrt{3}\, t\,\right) + \frac{27}{7 \sqrt{3}} \sin\left(\sqrt{3}\, t\,\right)
$$

### Respuesta Final

$$
f(t) = \frac{3}{7} e^{-2t} - \frac{3}{7} \cos\left(\sqrt{3}\, t\,\right) + \frac{27}{7 \sqrt{3}} \sin\left(\sqrt{3}\, t\,\right)
$$
La inversa de Laplace de la función $$ F(s) = \frac{3s + 9}{(s + 2)(s^2 + 3)} $$ es: $$ f(t) = \frac{3}{7} e^{-2t} - \frac{3}{7} \cos\left(\sqrt{3}\, t\,\right) + \frac{27}{7 \sqrt{3}} \sin\left(\sqrt{3}\, t\,\right) $$

Encontrar la inversa de Laplace de la siguiente función:

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