Dans chacun des cas suivants, étudier la conti- nuité en 2 de la fonction $$ f $$ définie par: $$ \left\{\begin{array}{l} ext { pour } x \in]-\infty ; 2\left[, f(x)=2 x^{2}-4 x-4 ight. \ ext { pour } x \in\left[2 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{2 x+3}{x-1} ight. ight.\end{array} ight. $$

Question

Dans chacun des cas suivants, étudier la conti- nuité en 2 de la fonction $$ f $$ définie par: $$ \left\{\begin{array}{l}	ext { pour } x \in]-\infty ; 2\left[, f(x)=2 x^{2}-4 x-4ight. \ 	ext { pour } x \in\left[2 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{2 x+3}{x-1}ight.ight.\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour étudier la continuité de la fonction $$ f $$ en $$ x = 2 $$, nous allons examiner les limites à gauche et à droite de ce point, ainsi que la valeur de la fonction en $$ x = 2 $$.

**1. Calcul de la valeur de $$ f(2) $$:**

La fonction est définie différemment selon les intervalles de $$ x $$. Puisque $$ 2 \in [2, +\infty[ $$, on utilise la deuxième définition de $$ f $$ :
$$
f(2) = \frac{2 \times 2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7
$$

**2. Calcul de la limite à gauche de $$ x = 2 $$ ($$ x \to 2^- $$):**

Pour $$ x $$ approchant 2 par la gauche, $$ x \in ]-\infty ; 2[ $$, on utilise la première définition de $$ f $$ :
$$
\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x^2 - 4x - 4)
$$
En substituant $$ x = 2 $$ :
$$
2 \times (2)^2 - 4 \times 2 - 4 = 8 - 8 - 4 = -4
$$

**3. Calcul de la limite à droite de $$ x = 2 $$ ($$ x \to 2^+ $$):**

Pour $$ x $$ approchant 2 par la droite, $$ x \in [2 ; +\infty[ $$, on utilise la deuxième définition de $$ f $$ :
$$
\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x + 3}{x - 1}
$$
En substituant $$ x = 2 $$ :
$$
\frac{2 \times 2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7
$$

**4. Conclusion sur la continuité en $$ x = 2 $$ :**

Pour que la fonction $$ f $$ soit continue en $$ x = 2 $$, les trois conditions suivantes doivent être remplies :
- $$ f(2) $$ est définie.
- $$ \lim_{x \to 2^-} f(x) $$ existe.
- $$ \lim_{x \to 2^+} f(x) $$ existe et est égale à $$ \lim_{x \to 2^-} f(x) $$.

Dans notre cas :
$$
\lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 7
$$
De plus, $$ f(2) = 7 $$.

Comme $$ \lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) $$, la limite en $$ x = 2 $$ n’existe pas de manière unique. Par conséquent, la fonction $$ f $$ **n'est pas continue en $$ x = 2 $$**.
La fonction $$ f $$ n'est pas continue en $$ x = 2 $$ car les limites à gauche et à droite de ce point ne sont pas égales.

Dans chacun des cas suivants, étudier la conti-
nuité en 2 de la fonction définie par:

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