Dans chacun des cas suivants, étudier la conti- nuité en 2 de la fonction \( f \) définie par: \( \left\{\begin{array}{l}\text { pour } x \in]-\infty ; 2\left[, f(x)=2 x^{2}-4 x-4\right. \\ \text { pour } x \in\left[2 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{2 x+3}{x-1}\right.\right.\end{array}\right. \)

Pour étudier la continuité de la fonction \( f \) en \( x = 2 \), il faut vérifier si \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \) est égal à \( \lim_{x \to 2^+} f(x) \) et si ces limites sont égales à \( f(2) \). Pour \( x < 2 \): \[ f(x) = 2x^2 - 4x - 4 \] Calculons donc \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \): \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2^2) - 4(2) - 4 = 8 - 8 - 4 = -4 \] Pour \( x \geq 2 \): \[ f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \] Calculons \( f(2) \): \[ f(2) = \frac{2(2) + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7 \] Calculons maintenant \( \lim_{x \to 2^+} f(x) \): \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2(2) + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7 \] En résumé, nous avons : \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = -4, \quad f(2) = 7, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 7 \] Puisque \( \lim_{x \to 2^-} f(x) \neq f(2) \), la fonction \( f \) n'est pas continue en \( x = 2 \).