d'où : \( \square \) est appelé le plan complexe, (OI) est l'axe réel, (OJ) l'axe imaginaire. E xercices 1.h Le plan est muni du repère (O, I, J). Placer le point-image de chacun des nombres complexes suivants : \( 1-i ; 1+i ; 2+4 i ;-1+i \); \( -2+i ; 1-2 i ;-i ; 5 \). 1.i Le plan est muni du repère ( \( \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} \) ). Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble des points-images des nombres complexes \( z \) tels que : (1) \( z \in \mathbb{R}_{+} \); (2) \( z \in \mathbb{R}_{-} \); (3) \( z \in i \mathbb{R} \); (4) \( \operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z) \). 1. j Le plan est muni du repère ( \( \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} \) ). On considère un nombre complexe \( z \) et son point-image \( M \). Placer les points-images \( M_{1}, M_{2} \) et \( M_{3} \) respectifs des nombres complexes: \( -\bar{z} ; \bar{z} \) et \( -\bar{z} \).

Bien sûr, je vais vous aider à résoudre ces exercices sur le plan complexe. Nous allons aborder chaque partie étape par étape. ## 1.h Placer les points-image des nombres complexes suivants dans le repère (O, I, J): Les nombres complexes sont de la forme \( z = a + b\,i \), où \( a \) est la partie réelle et \( b \) la partie imaginaire. Sur le plan complexe, \( a \) est représenté sur l'axe des abscisses (OI) et \( b \) sur l'axe des ordonnées (OJ). ### Nombres à placer : 1. \( 1 - i \) : \( a = 1 \), \( b = -1 \) 2. \( 1 + i \) : \( a = 1 \), \( b = 1 \) 3. \( 2 + 4i \) : \( a = 2 \), \( b = 4 \) 4. \( -1 + i \) : \( a = -1 \), \( b = 1 \) 5. \( -2 + i \) : \( a = -2 \), \( b = 1 \) 6. \( 1 - 2i \) : \( a = 1 \), \( b = -2 \) 7. \( -i \) : \( a = 0 \), \( b = -1 \) 8. \( 5 \) : \( a = 5 \), \( b = 0 \) ### Positionnement sur le plan complexe : Pour chaque nombre complexe \( z = a + b\,i \), placez le point \( M(a, b) \) sur le plan. 1. **\( 1 - i \)** : - Abscisse : 1 - Ordonnée : -1 - Point \( M(1, -1) \) 2. **\( 1 + i \)** : - Abscisse : 1 - Ordonnée : 1 - Point \( M(1, 1) \) 3. **\( 2 + 4i \)** : - Abscisse : 2 - Ordonnée : 4 - Point \( M(2, 4) \) 4. **\( -1 + i \)** : - Abscisse : -1 - Ordonnée : 1 - Point \( M(-1, 1) \) 5. **\( -2 + i \)** : - Abscisse : -2 - Ordonnée : 1 - Point \( M(-2, 1) \) 6. **\( 1 - 2i \)** : - Abscisse : 1 - Ordonnée : -2 - Point \( M(1, -2) \) 7. **\( -i \)** : - Abscisse : 0 - Ordonnée : -1 - Point \( M(0, -1) \) 8. **\( 5 \)** : - Abscisse : 5 - Ordonnée : 0 - Point \( M(5, 0) \) ### Représentation graphique : Pour visualiser ces points, tracez un repère orthonormé avec l'axe horizontal OI représentant la partie réelle et l'axe vertical OJ représentant la partie imaginaire. Placez chaque point aux coordonnées correspondantes.  *Remarque : L'image ci-dessus est une illustration. Veuillez tracer les points sur votre propre graphique pour mieux visualiser les positions.* ## 1.i Déterminer l'ensemble des points-images des nombres complexes \( z \) sous certaines conditions : ### 1. \( z \in \mathbb{R}_{+} \) (Nombres réels positifs) : - **Description** : Tous les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle et la partie réelle est positive. - **Forme générale** : \( z = a + 0\,i \) où \( a > 0 \) - **Ensemble géométrique** : Segment de l'axe réel (OI) s'étendant de l'origine O vers l'infini dans la direction positive. ### 2. \( z \in \mathbb{R}_{-} \) (Nombres réels négatifs) : - **Description** : Tous les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle et la partie réelle est négative. - **Forme générale** : \( z = a + 0\,i \) où \( a < 0 \) - **Ensemble géométrique** : Segment de l'axe réel (OI) s'étendant de l'origine O vers l'infini dans la direction négative. ### 3. \( z \in i\,\mathbb{R} \) (Nombres purement imaginaires) : - **Description** : Tous les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. - **Forme générale** : \( z = 0 + b\,i \) où \( b \in \mathbb{R} \) - **Ensemble géométrique** : L'axe imaginaire (OJ), toutes les points situés directement au-dessus ou en dessous de l'origine. ### 4. \( \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Im}(z) \) (Partie réelle égale à la partie imaginaire) : - **Description** : Nombres complexes où la partie réelle est égale à la partie imaginaire. - **Forme générale** : \( z = a + a\,i \) où \( a \in \mathbb{R} \) - **Ensemble géométrique** : Droite d'équation \( y = x \) dans le plan complexe, passant par l'origine et formant un angle de 45 degrés avec l'axe réel. ## 1.j Placer les points-images \( M_{1}, M_{2}, M_{3} \) des nombres complexes : \( -\overline{z} \), \( \overline{z} \), et \( -\overline{z} \). ### Notations : - \( z = a + b\,i \) est le nombre complexe initial. - \( \overline{z} = a - b\,i \) est le conjugué de \( z \). - \( -\overline{z} = -a + b\,i \) ### Points à placer : 1. **\( \overline{z} \)** : - **Coordonnées** : \( (a, -b) \) - **Interprétation géométrique** : Symétrie du point \( M(a, b) \) par rapport à l'axe réel (OI). 2. **\( -\overline{z} \)** : - **Coordonnées** : \( (-a, b) \) - **Interprétation géométrique** : Symétrie du point \( M(a, b) \) par rapport à l'axe imaginaire (OJ). 3. **\( -\overline{z} \)** (Semble identique au premier terme) : - **Si c'est une répétition**, il s'agit du même point que précédemment. - **S'il y a une erreur et que le troisième terme est différent**, veuillez préciser. ### Exemple : Supposons que \( z = 3 + 2i \). 1. **\( \overline{z} = 3 - 2i \)** : - Point \( M(3, 2) \) → Symétrie par rapport à l'axe réel → \( M_{2}(3, -2) \) 2. **\( -\overline{z} = -3 + 2i \)** : - Symétrie par rapport à l'axe imaginaire → \( M_{1}(-3, 2) \) 3. **\( -\overline{z} = -3 + 2i \)** : - Identique à \( M_{1} \) → \( M_{3}(-3, 2) \) ### Représentation géométrique :  *Remarque : L'image ci-dessus est une illustration. Veuillez tracer les points sur votre propre graphique pour mieux visualiser les positions.* ## Remarques supplémentaires : - **Conjugué d'un nombre complexe** : Si \( z = a + b\,i \), alors \( \overline{z} = a - b\,i \). La réflexion par rapport à l'axe réel change le signe de la partie imaginaire. - **Multiplication par -1** : Multiplier un nombre complexe par -1 revient à inverser ses signes des parties réelle et imaginaire. - **Symétries** : - **Symétrie axiale par rapport à l'axe réel** : \( \overline{z} \) - **Symétrie axiale par rapport à l'axe imaginaire** : \( -\overline{z} \) Assurez-vous de bien comprendre ces concepts, car ils sont fondamentaux pour travailler avec des nombres complexes et leur représentation géométrique. Si vous avez besoin de clarifications supplémentaires ou d'aide sur d'autres parties de ces exercices, n'hésitez pas à demander !