3. Tentukan volume benda putar yang terbentuk dari bagian bidang yang dibatasi oleh kurva $$ y=-x^{2}-3 x+6 $$ dan $$ x+y-3=0 $$ diputar dengan sumbu putar garis $$ x=3 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva $$ y = -x^{2} - 3x + 6 $$ dan $$ y = -x + 3 $$ ketika diputar sekitar garis $$ x = 3 $$, kita dapat menggunakan metode silinder (metode tabung).

### Langkah 1: Menentukan Titik Potong
Pertama, kita cari titik potong kedua kurva tersebut dengan menyamakan persamaan $$ y $$:

$$
- x^{2} - 3x + 6 = -x + 3
$$

$$
- x^{2} - 2x + 3 = 0
$$

Menyelesaikan persamaan kuadrat di atas:

$$
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \frac{2 \pm 4}{-2}
$$

Sehingga, kita mendapatkan dua titik potong:

$$
x = \frac{2 + 4}{-2} = -3 \quad \text{dan} \quad x = \frac{2 - 4}{-2} = 1
$$

Jadi, daerah yang dibatasi berada pada interval $$ x \in [-3, 1] $$.

### Langkah 2: Menentukan Fungsi Tinggi dan Radius
Dalam metode silinder, volume $$ V $$ dihitung dengan rumus:

$$
V = 2\pi \int_{a}^{b} r(x) \cdot h(x) \, dx
$$

Di mana:
- $$ r(x) $$ adalah jarak dari sumbu putar ($$ x = 3 $$) ke titik $$ x $$, yaitu $$ r(x) = 3 - x $$.
- $$ h(x) $$ adalah selisih antara nilai fungsi atas dan fungsi bawah. Di interval ini, kurva parabola berada di atas garis lurus, sehingga:

$$
h(x) = y_{\text{parabola}} - y_{\text{garis}} = (-x^{2} - 3x + 6) - (-x + 3) = -x^{2} - 2x + 3
$$

### Langkah 3: Pengaturan Integral
Menempatkan semua ke dalam rumus integral:

$$
V = 2\pi \int_{-3}^{1} (3 - x) \cdot (-x^{2} - 2x + 3) \, dx
$$

### Langkah 4: Menghitung Integral
Mari kita kembangkan terlebih dahulu integran:

$$
(3 - x)(-x^{2} - 2x + 3) = 3(-x^{2} - 2x + 3) - x(-x^{2} - 2x + 3) = -3x^{2} - 6x + 9 + x^{3} + 2x^{2} - 3x = x^{3} - x^{2} - 9x + 9
$$

Sehingga integral menjadi:

$$
V = 2\pi \int_{-3}^{1} \left( x^{3} - x^{2} - 9x + 9 \right) \, dx
$$

Mengintegrasikan tiap suku:

$$
\int \left( x^{3} - x^{2} - 9x + 9 \right) dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{9x^{2}}{2} + 9x + C
$$

Evaluasi dari $$ x = -3 $$ hingga $$ x = 1 $$:

$$
V = 2\pi \left[ \left( \frac{1^{4}}{4} - \frac{1^{3}}{3} - \frac{9 \cdot 1^{2}}{2} + 9 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-3)^{4}}{4} - \frac{(-3)^{3}}{3} - \frac{9 \cdot (-3)^{2}}{2} + 9 \cdot (-3) \right) \right]
$$

Menghitung nilai pada batas atas ($$ x = 1 $$):

$$
\frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{9}{2} + 9 = \frac{3}{12} - \frac{4}{12} - \frac{54}{12} + \frac{108}{12} = \frac{53}{12}
$$

Nilai pada batas bawah ($$ x = -3 $$):

$$
\frac{81}{4} - \frac{-27}{3} - \frac{81}{2} - 27 = \frac{81}{4} + 9 - \frac{81}{2} - 27 = \frac{81}{4} + \frac{36}{4} - \frac{162}{4} - \frac{108}{4} = -\frac{153}{4}
$$

Sehingga:

$$
V = 2\pi \left( \frac{53}{12} - \left( -\frac{153}{4} \right) \right) = 2\pi \left( \frac{53}{12} + \frac{153}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{53 + 459}{12} \right) = 2\pi \left( \frac{512}{12} \right) = 2\pi \cdot \frac{128}{3} = \frac{256\pi}{3}
$$

### Jawaban Akhir
Volume benda putar yang terbentuk adalah $$ \displaystyle \frac{256}{3} \pi $$ satuan volume.
Volume benda putar adalah $$ \frac{256}{3} \pi $$ satuan volume.

Tentukan volume benda putar yang terbentuk dari bagian bidang yang
dibatasi oleh kurva dan diputar dengan sumbu
putar garis .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Tentukan volume benda putar yang terbentuk dari bagian bidang yang dibatasi oleh kurva dan diputar dengan sumbu putar garis .